LIVRE PREMIER

déterminé ses arbitraires, on aura

ys = fx^^ dx.

De là et de ce que l'équation (i) est linéaire, il est facile de conclure que, si S est égal à

en nommant ^', . . . ce que devient 'l lorsqu'on y change successivement p, l, l^^\ ... en /?,,/i, /'/',..., en /?2, •• ., on aura

j^ — fx^ '^ dsc -^ fx^ ^' dx + . . . ,

la première intégrale étant prise depuis v = h jusqu'à ,r=p, la seconde étant prise depuis x ^= h jusqu'à x =/?,, — Cette valeur de y^ ne renferme aucune constante arbitraire; mais, en la joignant à celle que nous avons trouvée précédemment pour le cas de S nul, on aura l'expression complète de js-

30. Supposons maintenant que l'on ait un nombre quelconque d'équations linéaires aux différences finies entre un pareil nombre de variables j^, y^, y^, .. ., et dont les coefficients soient des fonctions rationnelles et entières de s. Faisons alors

jTs^^fx'cfdx, x,=fx'<:^'dx, y] = f x'(s^" dx, ...,

ces diverses intégrales étant prises entre les mêmes limites déterminées et indépendantes de s. Nous aurons

^jrs=fx^{x — \)cfdx, \-ys^=fx^[x — i)'^(^ dx, ...,

Les équations dont il s'agit pourront ainsi être mises sous les formes suivantes

S^---fx^zdx, ^'^-:Jx^z'dx, 'è" = fx'z"dx, ...,

S, S', S", ... étant des fonctions de s seul, et z, z', z", ... étant des fonctions rationnelles et entières de la même variable, et de x, ç, 9', 9", . . ., dans lesquelles 9, 9' . . . sont sous une forme linéaire. Considérons d'abord l'équation

^=fx^zdx, on a

la caractéristique A des différences finies étant relative à la variable s, et Z, AZ, .. . étant ce que deviennent z, ^z, ... lorsqu'on y suppose .V = o. On aura donc

S -^Jx^ dx Fz + 5 AZ + -~^- A^Z + . . .1 . Si l'on fait x' = Sy, on aura

dx ^ ' dx-^

l'équation précédente devient ainsi

^=fdx(zôr^xM±fl + ^l^ ^?r+ \

•^ V -^ dx 1.9. dx^ -^----j'

d'où l'on tire, en intégrant par parties comme dans le numéro précédent, les deux équations suivantes

j\ o = Z- ^^-^-^Z) d^ix^A^-Z

dx 1 . 2 dx-

(s = c + dr[-Az-^^ti^+ ..]

dèr f^'^à-z

dx

C étant une constante arbitraire. L'équation

S' =fx^z' dx,