LIVRE PREMIER

traitée de la même manière, donnera

dix M') dHx^\''Z')

dx i .n. dx-

[b') dèy- ix^An'

I dx \ i .i

Les équations '$>" =Jx^ z" dx, S'" =fx''z"' dx, ... produiront des équations semblables, que nous désignerons par («"), {b"); [a'"), {b'");

Les équations (a), («'), {a"), .. . détermineront les variables o, 9', <p", ... en fonction de x, et les équations (6), (^'), (è"), ... détermineront les limites dans lesquelles on doit prendre les intégrales fx^z dx,

jx^z' dx L'une de ces limites est £r = o. Pour avoir les autres, on

supposera d'abord S, S', S", . . . nuls; les constantes C, C, C", ... seront par conséquent nulles dans les équations [h), [b'), ..., puisque la supposition de ^ = o rend nuls les autres termes de ces équations.

En égalant ensuite séparément à zéro les coefficients de §v, —f-'> ••• dans ces mêmes équations, on aura les suivantes :

O = .r AZ ^ j — - + . . . ,

0=:X ÙJJ ,

On éliminera, au moyen de ces équations, toutes les constantes arbitraires, moins une, des valeurs de 9, 9', 9", . . . , et l'on arrivera à une équation finale en x, dont les racines seront les limites des intégrales

fx^df dx, Jx'(^' dœ On déterminera autant de ces limites qu'il est

nécessaire pour que les valeurs de y^, y's, •- . soient complètes. Supposons maintenant que S ne soit pas nul, et qu'il soit égal à

En faisant C = o dans l'équation (b) et en y mettant x' au lieu de ly, on aura

xM

.dx

sx^ i '-

d'où l'on conclut d'abord x =p, en sorte que les intégrales /a?^ 9 </^, Jx'a^'dx, . . . doivent être prises depuis x = o jusqu'à x =p. La comparaison des coefficients de s, s{s — i), . . . donnera ensuite autant d'équations entre /, P\ ... et les constantes arbitraires des expressions de 9,0', L'égalité à zéro de ces mêmes coefficients, dans les

équations (b'), [b"), . . . , donnera de nouvelles équations entre ces arbitraires que l'on pourra ainsi déterminer au moyen de toutes ces équations; on aura, parce procédé, les valeurs particulières de 7, qui satisfont au cas où. S', S'', . . . étant nuls, S a la forme que nous venons de lui supposer, ou, plus généralement, est égal à un nombre quelconque de fonctions de la même forme.

Pareillement, si l'on suppose que. S, S", .. . étant nuls, S' est la somme d'un nombre quelconque de fonctions semblables, on déterminera les valeurs particulières de j^,j^, ... qui satisfont à ce cas, et ainsi du reste. En réunissant ensuite toutes ces valeurs à celles que l'on aura déterminées dans le cas où S, S', . . . sont nuls, on aura les expressions complètes dej,, j^, .. ., correspondantes au cas où S, S', ... ont les formes précédentes.

Il est facile d'étendre cette métbode aux équations aux différences infiniment petites, ou en partie finies et en partie infiniment petites, et dans lesquelles les coefficients des variables principales et de leurs