LIVRE PREMIER
différences sont des fonctions rationnelles de s, que l'on peut toujours rendre entières en faisant disparaître les dénominateurs. Si l'on désigne, comme ci-dessus, par j^, r^, ... les variables principales de ces équations, et si l'on fait
Ys—fx' 9 dx, ri- ~fx^ 9' d.T, . . .,
on aura
-^- r=/:i;^ cp dx logJf, -^ ^-Jx'^dx \\Q^xY ,
-~ = f x^ cp' dx \o'^x, ds ^ ^ ^
Les équations proposées prendront ainsi les formes suivantes :
S =fx'^z dx. S' ^=fx''z'dx, ....
En les traitant par la méthode précédente, on déterminera les valeurs de 9,9', ... en fonction de x, et les limites des intégrales /.r^cprZx-, fjc^a^'dr, ....
En faisant
Xs=f <:''■''' 9 dx, Ys =/(:-''■'' 9' dx, . . . ,
on parviendrait à des équations semblables. Dans plusieurs circonstances, ces formes de y^, y',, . . . seront plus commodes que les précédentes.
31. La principale difficulté que présente l'application de la méthode précédente consiste dans l'intégration des équations différentielles linéaires qui déterminent ç, 9', 9", ... en .r. Les degrés de ces équations ne dépendent point de ceux des équations aux différences en j^.j^, ...; ils dépendent uniquement des puissances les plus élevées de s dans leurs coefficients. En ne considérant donc qu'une seule variable j,, l'équation différentielle en 0 sera d'un degré égal au plus haut exposant de s dans les coefficients de l'équation aux différences en j,. L'é-
OEwrc.t t/e L. -- Ml. 16
quation différentielle en o ne sera ainsi résoluble généralement que dans le cas où ce plus haut exposant est l'unité. Développons ce cas fort étendu.
Représentons l'équation différentielle en j^ par la suivante
VetT étant des fonctions linéaires de la variable principale r^ et de ses différences, soit finies, soit infiniment petites. Si l'on fait
^y étant égal à x^ ou à c~^^, elle deviendra
o==/cprf^'(Môj + N^|
M et N étant des fonctions de x\ on aura donc, en intégrant par parties comme dans le numéro précédent, les deux équations suivantes :
dx
o = C + N 9 ôj.
La première donne, en l'intégrant,
H étant une constante arbitraire. Supposons C nul dans la seconde équation; ,r = o ou ^r = co sera l'une des limites de l'intégrale /^/cp^-, suivant que l'on prend x^ ou c"^*^ pour "^y. On déterminera les autres limites en résolvant l'équation o = Nç^y.
Appliquons à C€tte intégrale la méthode d'approximation du n" 23. Si. l'on désigne par a la valeur de x donnée par l'équation
et parQ ce que devient la fonction Ncp^y, lorsqu'on y change x en r/,
on fera
~ N9(5r = Qc-^\
