LIVRE PREMIER

ce (jiii donne

/ = V iog Q~— lôgJNTT^'îog 0/ . ^

log^7 est de l'ordre s; si l'on suppose s très grand, et si l'on fait- = a, a sera un très petit coefficient. La quantité sous le radical prendra cette forme -^-^- X, X étant une fonction de ^ — a et de a; on aura donc, par le retour des suites, la valeur de, r en t, par une série de cette forme

X = a + a- ht + oc/i('W--h X- li'^^H^ -h

Maintenant, y, étant égal à Jlya^ dœ, si l'on substitue dans cette intégrale au lieu de 9^7 sa valeur 2^, elle deviendra Q T^? c^^'; et si dans-j^ on substitue pour .r sa valeur précédente en /, on aura y, par une suite de cette forme

les limites de l'intégrale relative à t devant se déterminer par la condition qu'à ces limites la quantité N9 J^y ou son équivalente Q^c'" soit nulle, d'où il suit que ces limites sont / = — 00 et / = co ; on aura donc, par le n" 24,

Cette expression a l'avantage d'être indépendante de la détermination des limites en x, qui rendent nulle la fonction NçSy, en sorte qu'elle subsiste dans le cas même où cette fonction, égalée à zéro, n'a point de racines réelles; elle subsiste encore dans le cas de s négatif. Cette remarque, analogue à celle que nous avons faite dans le n« 25, et qui tient comme elle à la généralité de l'analyse, est très remarquable en ce qu'elle donne le moyen d'étendre la formule précédente à un grand nombre de cas auxquels la méthode qui nous y a conduits semble d'abord se refuser.

Cette formule ne renferme que la constante arbitraire H, et par con-

12i THEORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITES.

séquent elle n'est qu'une intégrale particulière de l'équation différentielle proposée en j,, si cette équation est d'un ordre supérieur à l'unité. Pour avoir dans ce cas l'intégrale complète, il faudra chercher dans l'équation o = «^(Nç^j) autant de valeurs différentes de x qu'il y a d'unités dans cet ordre. Soient a, à, a", . . . ces valeurs; on changera successivement, dans l'expression précédente dej„ «en a,a", ..., et H en H', H", ... ; on aura autant de valeurs particulières qui renfermeront chacune une arhitraire, et dont la somme sera l'expression complète de y^.

Quand les coefficients de la proposéeenj, renferment des puissances de s supérieures à l'unité, on peut quelquefois décomposer cette équation en plusieurs autres qui ne renferment que cette première puissance. Si l'on a, par exemple, l'équation

M étant une fonction rationnelle et entière de s, on mettra cette fonction sous la forme

on fera ensuite

Zs,K=q[s + b]Zs, z'^^,z=[s-hb')z's,

Il est facile, par ce qui précède, de déterminer z„ t^, ... en intégrales définies, et de réduire ces intégrales en séries convergentes, lorsque s est un grand nombre. On aura ensuite

Ts

tsl'.

Dans plusieurs cas où l'équation différentielle en <p, étant d'un ordre supérieur au premier, ne peut être intégrée rigoureusement, on peut déterminer 9 par une approximation très convergente; en substituant ensuite cette valeur de 9 dans l'intégrale Jx'^^dx, on peut obtenir d'une manière fort approchée la valeur de cette intégrale.