LIVRE PllEMIEU
32. L'analyse exposée dans les numéros précédents s'étend encoi-e aux équations à différences partielles, finies et infiniment petites. Pour cela, considérons d'abord l'équation linéaire aux différentielles partielles dont les coefficients sont constants. En désignant par j^^ la variable principale, s et s' étant les deux variables dont elle est fonction, et représentant cette équation par celle-ci, V= o, V étant une fonction linéaire de fs.s' et de ses différences partielles, on y supposera
j,ç^^. -—.Jx'^x'^' o dx,
o étant une fonction de x\ alors l'équation V = o prend cotte forme
o=/Mx^^''«' 9 dx,
M étant une fonction de x et de x' , sans s ni s' . En égalant donc 31 ii zéro, on aura la valeur de x' en x, et cette valeur, substituée dans l'intégrale Jx^x'' f^dx, donnera l'expression générale j^.^', dans laquelle 9 est une fonction arbitraire de .r, les limites de l'intégrale étant indépendantes de X, mais d'ailleurs arbitraires. Si l'équation proposée V = o est de l'ordre n, il faudra, au moyen de l'équation M== o, déterminer un nombre n de valeurs de x' en x. La somme des /i valeurs de Jx'x''' c^dv qui en résulteront, et dans lesquelles on pourra mettre pour 9 des fonctions arbitraires différentes de x, sera l'expression <le y s,,'.
Il résulte de ce que nous avons dit dans la première Partie de ce Livre que l'équation M = o est l'équation génératrice de l'équation proposée V = o.
Considérons présentement l'équation aux différences partielles
dans laquelle V, T et R sont des fonctions quelconques linéaires de Ys^s' et de ses différences partielles, soit finies, soit infiniment petites. Si l'on y suppose, comme ci-dessus,
Xs.s =fx'<x'^' 9 dx,
r' étant une fonction de x qu'il s'agit de déterminer, on aura une équation de cette forme
o —fx'sc's' o dx[M -h^s+Vs'), M, N et P étant des fonctions de x et de x\ sans s ni s'; or on a
dx \ X X dx
donc, si l'on détermine x' par cette équation
dx' P dx
on aura
dx
par conséquent, si l'on désigne x^x'^' par ty, et si l'on suppose que l'on a substitué dans M et N pour x' sa valeur en x, on aura
dofx
o = f^^dx{Mor+^x^^
Cette équation, intégrée par parties, comme dans les numéros précédents, donne les deux suivantes :
-, dllSxca)
o = N:r o èy.
La première détermine 9 en x, et la seconde donne les limites de V'mté^râle J^yc^dx.
Cette valeur de Ys,s' ne renfermant point de fonction arbitraire, elle n'est qu'une intégrale particulière de l'équation proposée aux différences partielles. Pour la rendre complète, on observera que l'intégrale de l'équation
dx^ x'
Vdx
qui détermine x' en x, est ^' = Q, Q étant une fonction de x et d'une constante arbitraire que nous désignerons par u\ en représentant donc
