LIVRE PREMIER

donc

On déterminera la constante arbitraire A au moyen d'une valeur particulière de j^, en supposant, par exemple, que, s étant égal à a, on ait

j^ = Y; on aura

fxv-dxc-''''

par conséquent,

^ ^^ ^'~ fxV- dxc-^ V "^ 1 25 "^ 28852 -^ • • • j •

Voyons maintenant de quelle nature est la fonction/,. Pour cela, il f;iut intégrer l'équation aux différences finies

On trouve facilement que son intégrale est

on aura donc, en comparant cette expression à la formule [q),

s V-'v/îTriH 1-^+...

J'xV- dx c-^ Si l'on fait p, = o, on aura fx^dxc~^ = i; partant

Si l'on fait p. = ~, m étant moindre que n, on aura

s' étant un nombre entier; ainsi

, * ■+" -7 "^ ô . '« if, '" Ml (, , "^ \

„ , \ <.' Il 2^.\ /( 2/ \ ns J.

or on a

^ H h - ) log iH ; = U -^ ^- - -^ ^-^ +

« 2/ °\ /js'/ \ /i o.) \ns in^'S^

m m2+ mn n 2.11- s'

On a d'ailleurs, en faisant œ = V\

oc" dx c-" =- J x" dx c-^ = mft">-- ' dt c'^",

l'intégrale relative à t étant prise depuis t = o jusqu'à / infini. En substituant ces valeurs dans la formule (q), elle donnera

! m [m + n ) [ m -{- ^ n) . . . [m -h s' n) q") { ^s's' " ^c-^V^TTiH :,-, K.

en sorte que la valeur approchée du produit des termes de la progression arithmétique m, m + n, m -v- in, . . . dépend des trois transcendantes c, :: et /r^' c^/c"'".

Si dans cette équation on fait, pour plus de simplicité, /i= f, ce

qui change m en [x, et si l'on observe que Jt^~^ dtc-^ — - Jt^dtc~^, on aura