LIVRE PREMIER. U

l'intégrale

(. 2 W + I \ « Sin 7x5 \ — --A — / ' sin^cT /

. 7.n -4- 1 sin — ; — CT

prise entre les deux limites entre lesquelles r-^^ est nul de part

et d'autre du maximum de cette fonction, est donc à très peu près

\/in{n-hi)sT: \ sin^H /

Cette expression a généralement lieu pour les intégrales relatives à tous les maxima qui suivent le premier; seulement il faut n'en prendre que la moitié relativement au dernier qui correspond à n = 77. Il résulte de ce qui précède que cette expression, par rapport au second maximum, est moindre, abstraction faite du signe, que

<.n[n-+- i]st: \^/

que, relativement au troisième maximum, elle est moindre que

\J7.n[n + ijsTi \9

et ainsi de suite. Lorsque s est un très grand nombre, ces quantités décroissent avec une extrême rapidité, et elles sont incomparablement plus petites que la quantité relative au premier maximum, et qui, comme on l'a vu, est

[in -f- i)V^ .

\/in[n -\-\)st:

on peut donc n'avoir égard qu'à cette dernière intégrale, et l'on voit que cela est rigoureux dans le cas de n infini; car l'équation de condition du maximum donne alors — ^— II-- -^^^^-^t:, /-étant un nombre

sin n

entier, ce qui rend — -^lù — ^^"'' excepté lorsque n est zéro, ce qui

répond au premier maximum.

Si le polynôme est composé d'un nombre de termes pair et égal à -j.n, (el que

a ^ a ^ rt*

en y substituant W~' au lieu de a, il devient

2 cesser + 2 cos^w -)- . . .+ 2 ces • gj,

ou T-— j—* ^--6 polynôme, eleve a une puissance entière et positive, ne

peut avoir de terme moyen ou indépendant des cosinus de it? et de ses multiples, qu'autant que cette puissance est paire ; représentons-la par •?.s : alors le terme moyen sera

I „ , /sin«cj\ T. \sin.TGî/

l'intégrale étant prise depuis cj nul jusqu'à cr = t:. Cette intégrale se compose de diverses intégrales partielles, relatives aux divers maxima

de la fonction . . ; mais on s'assurera facilement, par l'analvse présing-Gj * J f

cédente, que toutes ces intégrales, lorsque is est un très grand nombre et lorsque n est plus grand que l'unité, sont incomparablement plus petites que celle qui est relative au premier maximum, qui correspond à cy nul; et alors on trouve à très peu près le terme moyen de la puissance 'is du polynôme égal à

(2n)2'^ ^/3 \'[in — \)[-2.n-\-\)s-K

En rapprochant ce résultat du précédent, on voit que, si l'on nomme généralement n' le nombre des termes du polynôme et s' la puissance