LIVRE PREMIER
à laquelle il est élevé, le terme moyen du développement sera, lorsqu'il
y en a un,
et, pour qu'il y ait un terme moyen, in' — 1)5' doit être un nombre pair, c'est-à-dire que l'un ou l'autre au moins des nombres n' — i et s' doit être pair.
36. L'analyse précédente donne encore le coefficient de a^' dans le développement du polynôme
Pour l'obtenir, on observera que le coefficient de a!' dans le développement de ce polynôme est le même que celui de a''-, en nommant donc A,, ce coefficient, en faisant a = c'^v' < et réunissant les deux termes du développement relatifs ka'' et a'', on aura 2,Af.cosru pour leur somme. Maintenant, si l'on multiplie ce polynôme ou sa valeur
— ^ / par <r/cTCos/c7, et qu'on intègre le produit depuis ci — o
jusqu'à CT = 77, il est clair que tous les termes disparaîtront, excepté celui où r est égal à /; l'intégrale se réduira donc à 'lAïf dtscos^lvs, ce
qui donne
(. 2n + 1 \^ sin CT \ sin|Gî /
Pour intégrer cette fonction, on fera, comme ci-dessus,
(.2/1 + 1 \* sin d \
En prenant les logaritbmes et développant par rapport aux puissances de CT, on aura, par le retour des suites, pour ct, une expression de cette
forme,
\/n{n -{- i)s ce qui transforme l'intégrale précédente dans celle-ci
Lv/i(rt + i)sj
l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à t infini. On peut facilement l'obtenir par le n° 26, et l'on trouve, en n'ayant égard qu'à son premier terme, pour sa valeur,
C'est la valeur cherchée du coefficient de a-' dans le développement du polynôme, lorsque sa puissance s est très élevée.
Cherchons maintenant la somme de tous ces coefficients, depuis celui de a-^ inclusivement, jusqu'à celui de a^ inclusivement, / étant un grand nombre, mais d'un ordre inférieur à s. Pour cela, nous observerons que l'on a, par le n° 10,
dl
dri\~^ i (driY j dyj.
dl) ^[dl I i-i W
d'où l'on tire, par le numéro cité,
^ri=fridi-'-ri+~ ^j
12 dl
. -h consl.
En prenant l'intégrale depuis le terme correspondant à t nul inclusivement, on aura la somme des valeurs de y^, depuis cette origine jus- (}u'au terme j; exclusivement. La constante arbitraire sera égale alors à
I I dro • • 1 1 ,
- Vo — — -^ ~ . . .; ainsi la somme des valeurs de y^, depuis /nul in-
