LIVRE PREMIER. loi

clusivement jusqu'à yi inclusivement, sera

Supposons maintenant

rr-

alors les différences de yi seront successivement d'un ordre inférieur les unes aux autres; en ne considérant donc que les trois premiers termes de la série précédente, on aura

pour la somme des coefficients des termes du développement de la puissance s du polynôme, depuis / nul inclusivement jusqu'à yi inclusivement. En doublant cette somme, et en retranchant de ce double le terme jo» on aura pour la somme des coefficients, depuis celui du terme correspondant à a~' inclusivement, jusqu'à celui du terme correspondant à a^ inclusivement,

\ln[n + ï)st:\ 2

37. Nous avons supposé dans les exemples précédents que les équations aux différences en y^ n'avaient point de dernier terme ; donnons un exemple d'une équation jouissant d'un dernier terme, et pour cela considérons l'équation aux différences

En faisant

on aura

p^z=z T-^cp(i 4- x) — /.r-'[(^ + i) ddf 4- (/ + 1)9^:1;],

ce qui donne d'abord, pour déterminer 9, l'équation

{ I + :r ) </cp + ( i 4- 1 ) 9 fi?^ = o.

d'où l'on tire, en intégrant,

A étant une constante arbitraire. Ensuite on a

ou

Ax"

d'où l'on tire en sorte que

rs=

/x^~ ' dx '{iT'xY'^

l'intégrale étant prise depuis x = o jusqu'à œ = p. En ajoutant à cette valeur dcj^ celle-ci

x^~* dx

l'intégrale étant prise depuis œ nul jusqu'à x infini, et B étant une arbitraire; on aura pour l'intégrale complète de la proposée

^ r x^-'dx , , . /• x^- ' dx

expression que l'on peut mettre sous cette forme

-,, r x'-^dx , .. r x'-^dx

la première intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à x infini, et la seconde étant prise depuis x =/? jusqu'à x infini. Maintenant l'intégrale de la proposée

est

•^' i[i — i)[i — i)...[i~s-^i)\y Zj 1.2. 3. .5 ^J'

Q étant une arbitraire et \ étant la caractéristique des différences

finies; en sorte que la fonction^ --!^--^-^'^~^-^^^^^^ est

égale à

c'est-à-dire à la somme des s premiers termes du binôme (i +yo)'. Si l'on compare cette expression de j, à la précédente, on aura

— 1-2.3. . .(5— l) Tç

Si l'on fait s — i dans cette équation et si l'on observe que le produit i.2.3...(^ — i) se réduit alors à l'unité, comme on l'a vu dans le n** 34, on trouve, après les intégrations, B'= Q. Ainsi, B' étant une arbitraire, cette équation se partage dans les deux suivantes