i) C x^~* dx

x"-* dx

Zd 1.2.3. .

lit — 1). . .[i — s

1) r x'-^dx

, ..[i-s-\-i]Zi 1 2.3...5 ^ ' f^' J [i-^xY^^''

d'où l'on tire

r x'~^dx

x^"' dx

l'intégrale du numérateur étant prise depuis x = p jusqu'à x infini, et celle du dénominateur étant prise depuis x nul jusqu'à x infini. Lorsque s et i sont de grands nombres, il sera facile de réduire ces deux intégrales en séries convergentes, par les formules des n^* 22 et 23. On aura ainsi la somme de s premiers termes du binôme élevé à une grande puissance, par une approximation d'autant plus rapide que cette puissance sera plus haute.

OFMvres de L. — S\\. 20

l5/^ THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Si l'on effectue les intégrations, l'équation précédente devient

' '-'^ '^ 1.2.3. ..[*—Ij '^

Le second membre de cette équation est une transformation de h» somme partielle des termes du binôme (i +/>)', transformation qui peut être utile.

De r approximation des différences infiniment petites et fmies, très élevées, des fonctions.

38. Considérons une fonction quelconque de s, que nous représenterons par cp(s). En y changeant z en z + t, désignons par r, le coefficient de f dans le développement de cette fonction ; nous aurons

d'(^{z-ht) -

t étant supposé nul après les différenliations, et, comme on a

djf[z 4- /) d(i^[z)

dt '~ dz

en supposant/ nul, on aura

</•* 9 ( 2 ) dz^