I .2.3. . .5.Jj

Ainsi la recherche de la différence 5**™^ de (p(5) se réduit à développer la fonction 9(5 + /) en série.

Supposons que cette fonction de t soit une puissance d'un polynôme en t, que nous représenterons par

{a-+- bt -T- et- -}-. . .]V-.

En exprimant par

yQ+yit^yit^-h...-^rst' +. ..

son développement en série, on aura, en prenant les différences logarithmiques,

a -+- 67 + c/M- . . . ~ 7o + Jt / -4- 72V2"h- ~ TT^'yit' + .".T "

Multipliant en croix et comparant les termes multipliés par /*-', on aura

asy, + b{s — i) j,__., + c{s — 2) j^2 + • • . == [J-b^s-i + 2;jlcj,2 ^-

Représentons par fœ''*(^dx l'expression de y,; cette équation de-

vient

En égalant séparément à zéro la partie de cette équation affectée du signe intégral, on a

ce qui donne, en intégrant,

cp = A ( rt -+ 1 7, -\- .

A étant une constante arbitraire. La partie de l'équation précédente hors du signe intégral donnera ensuite, pour déterminer les limites de l'intégrale,

ces limites sont donc x = o ei x égal aux diverses racines de l'équa-

tion

oz= a -\ 1 h...

On aura donc, par les méthodes précédentes et par une approximation

très prompte, les coefficients des puissances très élevées de t dans le développement en série de la puissance

[a + bt -^ cf^ +.. .)V-,

et par conséquent on aura les différentielles très élevées de la puissance

qui se change dans la précédente en changeant :; dans z -h f et faisant

rt = rt'-f- b' z -\- c' z- -{- . . ., b = b' -{- 2c' z -h . . ■ , c = c' -h. . .,

Appliquons cette analyse à un exemple.

z- étant le sinus d'un angle G, on aura

dz^+i ~~ dz^ '^YZ:~~zi '

Pour avoir l'expression du second membre de cette équation , nous observerons que l'on a, par ce qu'on vient de voir,

dz^^/i z^ -^^

y, étant le coefficient de /' dans le développement de [ i — (^ H- ^)^] '^•

On aura ensuite

Xs=Af^'''dx^i-{z-i- ^j J ,

les limites de l'intégrale étant données par l'équation

Ces limites sont

it- = — » X =^o, .r =