LIVRE PREMIER

Comme x a trois valeurs, l'expression de 7, prend cette forme, par le

A et A' étant des constantes arbitraires, et la première intégrale étant prise depuis x ^ -- ^^ '^-^ jusqu'à ^ = o, et la seconde étant prise depuis X = 0 jusqu'à X -- YZIz' ^^ ^'^" ^^'^

Z -\- COSGJ

l'expression précédente de 7, devient

r dvs [z -^- coszsY , B/ r djs [z -\- costsy

la première intégrale étant prise depuis w = o jusqu'à ct égal à l'angle dont le cosinus est - z, et la seconde étant prise depuis ce dernier angle jusqu'à u=^n. Pour déterminer les arbitraires B et B', on observera que

sji-z^ (1

d'où il est facile de conclure

B =1 R' = - ; partant

y^— 1-__.^ Jc/oj (z + COSGî)S

l'intégrale étant prise depuis cr = o jusqu'à ct^^tt. En prenant cette intégrale et observant que

__ 1.2.3. ..2r 1.3.5. . .(ar— 1)^

~ a'ï^aTS "T. r )2 '^ " " 2 . 4 . 6 . . . 2 r ' '

on aura

I sis — l\

ZS + - -I .-^. - ^s-, ^ h}, S[S-,)[S- 2) (. - 3) Xs =: -^ J ^ l.'A 2.4 I . 273 . 4 -^

Cette expression est fort composée, lorsque s est un grand nombre; mais alors on peut obtenir sa valeur d'une manière fort approchée, en appliquant à l'expression de j„ sous forme d'intégrale définie, les méthodes exposées ci-dessus. La fonction sous le signe intégral ayant deux maxima, l'un à l'origine de l'intégrale et l'autre à son extrémité, nous la décomposerons dans les deux suivantes

^' == i [yVcî ( z + cosnr)^ -f- !~y]sfdm (cosgt - 2 )^1,

la première intégrale étant prise depuis ^ nul jusqu'à t, égal à l'angle dont le cosinus est - z, et la seconde intégrale étant prise depuis nr nul jusqu'à n égal à l'angle dont z est le cosinus. Soit^ = a, et faisons

[z + coscj)-'^ (l -H 2)^c-'';

on aura, en prenant les logarithmes et réduisant coscr en série, d'où il est facile de conclure

= ^tJ

on aura ainsi, en observant que l'intégrale doit être prise depuis t nul jusqu'à t infini,