LIVRE PREMIER

En changeant z dans - z, on aura

partant.

dans le cas de s très grand, cette expression se réduit à fort peu près à ce terme très simple,

(l — zf'^'^sJïSTÏ

Si l'on multiplie l'expression {b) de y, parle produit i.2.3....v, produit qui, par le n° 33, est égal à

on aura à très peu près

d'+'Q dz^-^i ~

\ll~ Z^

dz^ ~

39. Lorsqu'une fonction j, de s peut être exprimée par une intégrale définie de la rorme fœ'<^dx, les différences infiniment petites et finies d'un ordre quelconque n seront, par le n« 21,

d"rs

-—- =Jx^c^dx [\o^x ",

A« j^ = Z-^^? dx[x — i )".

Si, au lieu d'exprimer la fonction de s par l'intégrale fa'odv, on l'exprime par l'intégrale fc '"^r^dx, alors on a

Pour avoir les intégrales 7i'^™*% soit finies, soit infiniment petites, il suffira (le faire n négatif dans ces expressions. On peut observer qu'elles sont généralement vraies, quel que soit n, en le supposant même fractionnaire, ce qui donne le moyen d'avoir les différences et les intégrales correspondantes à des indices fractionnaires. Toute la difficulté se réduit à mettre sous la forme d'intégrales définies une fonction de s, ce que l'on peut faire par les n«« 29 et 30, lorsque cette fonction est donnée par une équation linéaire aux différences infiniment petites ou finies. Comme on est principalement conduit dans l'analyse des hasards à des expressions qui ne sont que les différences finies des fonctions, ou une partie de ces différences, nous allons y appliquer les méthodes précédentes et déterminer leurs valeurs en séries convergentes.

40. Considérons d'abord la fonction -.- En la désignant par j,, elle sera déterminée par l'équation aux différences infiniment petites

Si l'on suppose, dans cette équation,

elle deviendra

o =f(f dx iiàx -h X -^^-j ,

d'où l'on tire, en intégrant par parties, conformément à la méthode du n*» 29, les deux équations

o = :c <p èy.

La première donne, en l'intégrant,

A étant une arbitraire. La seconde équation donne pour les limites de