LIVRE PREMIER

l'intégrale fc^^^dx, x = o et ^ = co . On aura donc, dans ces limites,

Kl J

Pour déterminer la constante A, nous observerons que, ^ étant i, le premier membre de cette équation se réduit à l'unité, ce qui donne

on aura donc par le numéro précédent

^ j fx^-^ dxc-^^ic-'^—iY ^^' s' Jx'-Uixc--^

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis^ nul jusqu'à x infini.

Pour développer cette expression en série, supposons

a étant la valeur de x qui répond au maximum du premier membre de cette équation. Si l'on fait x = a -h(i, on aura, en prenant les logarithmes de chaque membre, et en développant le logarithme du premier dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de 6,

les quantités a, h, h! , h", . . . étant données par les équations suivantes :

nc-«

\c---ij

in =4

\c-^-ij

OE livres de L. — M\. 21

on aura donc, par le retour des suites,

slJi\ ilis^lïi S/i-^

et cette suite sera d'autant plus convergente que le nombre n sera plus considérable. En substituant cette valeur de 0 dans la fonction fd^c-^\ et prenant l'intégrale dans les limites t --- — co et / — co , limites ffui correspondent aux limites a? = o et a? =-- ^ , on aura

On a d'ailleurs

/^'~' €1x0^^=- - fx^ dxc^,

et lorsque i est très grand, on a, par le n° 32,

en divisant donc l'une par l'autre les deux valeurs de

Jx^-^ dxc~^^[c--^—\Y 61 Jx^-^ dxc-^y on aura

, > . , [ iS ll"^— 17. hli" \

«' sj-ilii

Pour avoir la différence finie /i'^"'*' de la puissance positive^', il sutïit, par le n" 30, de changer dans cette équation «dans — i, et l'on aura

a, /, /', l", . . . étant données par les équations

__ / + 1 n c^ , Il f 6'°

aa^ 2 c" — I -î \6"^ — I

~ 3a3 "'" 6 c« — I " 2 \c«— 1 j "^ 3 Vë«— "i

__ i -f- 1 Ai c« 7 /i / c« \ 2 n I c^ \^ ^n f c"

La série (uJ) cesse d'être convergente lorsque a est une très petite

fraction de l'ordre -; car il est visible que, les quantités/, /', /', ...

formant alors une progression croissante, chaque ternie de la série est du même ordre que celui qui le précède. Pour déterminer dans quel cas a est très petit, reprenons l'équation

On peut la transformer dans la suivante, lorsque a est très petit,

i ~\- \ ni n

d'où l'on tire à très peu près, dans la supposition de a très petit,

SA

ainsi a sera fort petit toutes les fois que i ~ n sera peu considérable relativement à 5 h Dans ce cas, on déterminera ^"s' par la méthode

suivante.

Reprenons l'équation

r dx

Ans' —

dans laquelle se change la formule (;x), lorsqu'on y fait i négatif et égal à — i. On peut mettre la fonction (c-^— i)« sous cette forme

TiT f .5' x\n n.v .

on aura donc

Si l'on fait

on aura généralement

or on a trouvé dans le n" 33, par le passage du réel à l'imaginaire,

r dx' c-^^ 2Tt[— if ^ J x'r ~~ fx'''-* dx' c--^' ~

27rf— t1''"^

(r-i)(r-2)(r-3)...' partant on aura

X < r • \ I • \ I • \ I • o\ n[on ~ 1

Cette série sera très convergente si i — n est peu considérable relativement à ,ç H — ; elle peut d'ailleurs être employée dans le cas où i est

fractionnaire, comme il est facile de s'en convaincre. Quant au produit {i — 7i-h i){i — n-\- 2). . .i, il est facile de l'obtenir en série convergente, par le n°33.

La formule précédente est une application très simple de l'équation

dy „ dy „

A„ \ ds ds

"fs =\C — C

que nous avons donnée dans le n° 10; car, en développant le second membre de cette équation et faisant 7^-=/, on obtient directement cette formule que nous avons conclue des passages du réel à l'imaginaire, ce qui confirme la justesse de ces passages.

41. Les formules ([x') et {]j'') des numéros précédents supposent n égal ou moindre que i. En effet, si l'on considère l'expression

fdxi

Il Cl :

* dxc~-^

dont le développement a produit ces formules, on voit que, les limites des intégrales du numérateur et du dénominateur étant déterminées par le numéro précédent, en égalant à zéro le produit des quantités sous le signe intégral par x, ces limites seront toutes imaginaires lorsque i sera plus grand que n, au lieu que, dans le cas où i sera moindre que n, les limites de l'intégrale du numérateur seront réelles, tandis que celles du dénominateur seront imaginaires ; il faut donc alors ramener ces dernières limites à l'état réel. Pour y parvenir, nous observerons que l'on a généralement

fx^-^ dx c-"^ — "^

i[i-^ i) (i-i- 2). . .(z 4- r) Si l'on fait dans cette expression i négatif et égal à — /— -> m étanl

moindre que /^ on aura

r dxc-^ ( — I )/■+ ' fx~ "" dx (;-■>'

or on a, par le n'' 33, les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à x infini,

m\ / m\ . fx^dxc'^

n j \ ni r IL

J X" dx c--^

i étant ici positif ; c'est l'expression de / — --^ dont on doit faire usage dans le cas que nous examinons ici. Si l'on fait x =^t", on aura

X '" dxc-^ j x'" dxc-^--~ n'^ftn-m-i dlc-^"Jt"^-^ dtc-t", et l'équation (T) du n*' 24 donne, en y changeant r dans m-\~ \,

on aura donc

Sm — TT

dxc-^ {—iV+^r.

r dxc

. m ri sjn —71 1 x' dxc~-^

d'où l'on tire, en substituant cette valeur dans l'expression précédente de A" 5',

''""^ r dx

[ [Ji" ) A" s' -- — J'x' dx c-^ \ - . - c-^^ ( c-^ — 1 )" ,

^ ' n ,. 1 r dû

A" 5'-- — — x^dxc-^ I -.-