LIVRE PREMIER

peut, en les réduisant en fractions continues, obtenir des approximations toujours convergentes.

Ce que nous venons de dire sur la série précédente peut s'étendre à toutes celles que nous avons considérées et doit ôter toute inquiétude sur les usages que nous en avons faits. En effet, on peut toujours arrêter ces séries au point où elles cessent d'être convergentes, et représenter le reste par une intégrale. C'est ce que nous allons faire voir sur la formule la plus générale du développement des fonctions en séries.

On a, en prenant l'intégrale depuis - = o,

fdz (^'[x — z) ^= ?(-^") — 9(-^ — 2),

o'(^) étant la différentielle de <p(^) divisée par dx. Si l'on désigne pareillement par ^"(oc) la différentielle de ^'(oc) divisée par dx, par <^"'[x) la différentielle de 9''(^) divisée par dx et ainsi de suite, on aura

f dz (^' [x — z) =z z (^'{x — 2) -f- fz dz ^"[x ~ z), fzdz(^"[x — z) = ^z^(?"{x— z] +fU-^dz <if"'[x-z),

VaW continuant ainsi, on trouvera généralement

fdz 9'(.r ~z)=z (p'(^ 2 ) 4- ~ x^"[x z) + . . . -u -^___ cp(.o(^ - z)

r z^ dz , ^.w J I . 2 . 3 . . . /i ^ '