CHAPITRE II

DE LA PROBABILITE DES EVENEMENTS COMPOSES D ÉVÉNEMENTS SIMPLES DONT LES POSSIBILITÉS RESPECTIVES SONT DONNÉES.

3. Si l'on développe le produit (i -f-/?)(i + p'){^ -h p") . .., composé de n facteurs, ce développement renfermera toutes les combinaisons possibles des n lettres p, p', p", .. ., /?^"~*\ prises une à une, deux à deux, trois à trois, ... jusqu'à n, et chaque combinaison aura pour coefficient l'unité. Ainsi, la combinaison pp' p" résultant du produit (i + /?)(i +/>')(i -h/?"), multiplié par le terme i du développement des autres facteurs, son coefficient est évidemment l'unité. Maintenant, pour avoir le nombre total des combinaisons de n lettres prises x à X, on observera que chacune de ces combinaisons devient /i^, lorsqu'on suppose //, p", . . . égaux à p. Alors le produit des n facteurs précédents se change dans le binôme (i + />)"; or le coefficient de /?^ dans le développement de ce binôme est

n[n — in — 2

celte quantité exprime donc le nombre des combinaisons des n lettres prises x à x. On aura le nombre total des combinaisons de ces lettres, prises une à une, deux à deux, ..., jusqu'à^ à /î,en faisant/? — i, dans le binôme (r +/>)", et en retranchant l'unité, ce qui donne 1" — i pour ce nombre.

Supposons que dans chaque combinaison on ait égard non seulement au nombre des lettres, mais encore à leur situation; on déterminera le

nombre des combinaisons, en observant que, dans la combinaison de deux lettres pp , on peut mettre p' à la seconde place, et ensuite à la première, ce qui donne les deux combinaisons />/>', p'p. En introduisant ensuite une nouvelle lettre/?'' dans chacune de ces combinaisons, on peut la mettre à la première, à la deuxième ou à la troisième place, ce qui donne 2.3 combinaisons. En continuant ainsi, on voit que, dans une combinaison de x lettres, on peut leur donner 1.2. 3...^ situations différentes, d'où il suit que le nombre total des combinaisons de n lettres, prises xk x^ étant, par ce qui précède,

le nombre total des combinaisons, lorsqu'on a égard à la différente situation des lettres, sera cette même fonction, en supprimant son dénominateur.

On peut facilement, au moyen de ces formules, déterminer les bénéfices des loteries. Supposons que le nombre des numéros d'une loterie soit 71, et qu'il en sorte r à chaque tirage; on veut avoir la probabilité qu'une combinaison de s de ces numéros sortira au premier tirage.

Le nombre total des combinaisons des numéros, pris r à r, est, par

ce qui précède,

Pour avoir, parmi ces combinaisons, le nombre de celles dans lesquelles les s numéros sont compris, on observera que, si l'on retranche ces numéros de la totalité des numéros, et que l'on combine r — s l\ r — s \e reste n — s, le nombre de ces combinaisons sera le nombre cherché; car il est clair qu'en ajoutant les s numéros à chacune de ces combinaisons, on aura les combinaisons rh. r des numéros, dans lesquelles sont ces s numéros. Ce nombre est donc