LIVRE II

en le divisant par le nombre total des combinaisons r à r des n numéros, on aura pour la probabilité cherchée

n[n — i n — 1]. . An — 5 -+- 1

En divisant cette quantité par i.'i.?>...s, on aura, parce qui précède, la probabilité que les s numéros sortiront dans un ordre déterminé entre eux. On aura la probabilité que les s premiers numéros du tirage seront ceux de la combinaison proposée, en observant que cette probabilité revient à celle d'amener cette combinaison, en supposant qu'il ne sort que s numéros à chaque tirage, ce qui revient à faire r=^ s dans la fonction précédente, qui devient ainsi

Enfin on aura la probabilité que les s numéros choisis sortiront les premiers dans un ordre déterminé, en réduisant le numérateur de cette fraction à l'unité.

Les quotients des mises divisées par ces probabilités sont ce que la loterie doit rendre aux joueurs; l'excédent de ces quotients sur ce qu'elle donne est son bénéfice. En effet, si l'on nomme /; la probabilité du joueur, m sa mise et^ ce que la loterie doit lui rendre pour l'égalité du jeu, X — m sera la mise de la loterie ; car, ayant reçu la mise m et rendant x au joueur, elle ne met au jeu que x — m. Or, pour l'égalité du jeu, l'espérance mathématique de chaque joueur doit être égale à sa crainte; son espérance est le produit de la mise a- — m de son adversaire par la probabilité yo de l'obtenir; sa crainte est le produit de sa mise m par la probabilité i — p de la perte. On a donc

c'est-à-dire que, pour l'égalité du jeu, les mises doivent être réciproques aux probabilités de gagner. Cette équation donne

OFAivres de L. — \\\. ^ 25

ainsi ce que la loterie doit rendre est le quotient de la mise divisée par la probabilité du joueur pour gagner.

4. Une loterie étant composée de n numéros dontr sortent à chaque tirage, on demande la probabilité qu'après i tirages tous les numéros seront sortis.

Nommons z,,^^ le nombre des cas dans lesquels, après i tirages, la totalité des numéros i, 2, 3, ..., ^ sera sortie. Il est clair que ce nombre est égal au nombre ^„,^__, de cas dans lesquels les numéros i, 2, 3, ...,q — i sont sortis, moins le nombre de cas dans lesquels, ces numéros étant sortis, le numéro qu'est pas sorti ; or ce dernier nombre est évidemment le même que celui des cas dans lesquels les numéros i , 2, 3, . . ., 7 — r seraient sortis, si l'on ôtait le numéro q des n numéros de la loterie, et ce nombre est ^„,,^,; on a donc

Maintenant le nombre de tous les cas possibles dans un seul tirage

étant ^^LziiH^-Ill)^^^ - r + I ) ^ ^^j^j ^^ t^^s 1^^ cas possibles 1.2.3. . . /'

dans «tirages est

Le nombre de tous les cas dans lesquels le numéro i ne sortira pas dans ces i tirages est le nombre de tous les cas possibles, lorsqu'on retranche ce numéro des n numéros de la loterie, et ce nombre est

le nombre des cas dans lesquels le numéro i sera sorti dans i tirages

est donc

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