LIVRE II

c'est la valeur de z«,,. Cela posé, l'équation («) donnera, en y faisant successivement ^ = 2, ^ = 3, . . .,

et généralement

Ainsi la probabilité que les numéros 1,2, 3,..., g sortiront dans / tirages étant égale à s„,^ divisé par le nombre de tous les cas possibles,

elle sera

Ay[[w-jr) ( /i — q — i)...{n—r-q + i)y ^

Si l'on fait dans cette expression ^ = tî, on aura, s étant ici la variable qui doit être supposée nulle dans le résultat,

pour l'expression de la probabilité que tous les numéros de la loterie sortiront dans i tirages.

Si n et i sont de très grands nombres, on aura, par les formules du n° 40 du Livre P% la valeur de cette probabilité au moyen d'une série très convergente. Supposons, par exemple, qu'il ne sorte qu'un numéro à chaque tirage; la probabilité précédente devient

Proposons-nous de déterminer le nombre i de tirages dans lesquels cette probabilité est 4» net i étant de très grands nombres. En suivant

l'analyse du numéro cité, on déterminera d'abord a par l'équation

ce qui donne

/ + 1 nc^

On a ensuite, par le n«40du Livre F, lorsque C" est une quantité très petite de l'ordre y' comme cela a lieu dans la question présente, on a, dis-je, aux quantités près de l'ordre j^, s étant supposé nul dans le ré-

sultat du calcul,

Or on a, aux quantités près de l'ordre \,

i-hi ■ '

en supposant ensuite c~'' = z, on a

de plus, l'équation qui détermine a donne

i + I — na= [i -h i)z, d'où l'on tire

cna-i-i — c-iz[i — z);

on aura donc, aux quantités près de l'ordre -4»