LIVRE II

Pour déterminer :;, reprenons l'équation

on aura, par la formule [p) du n° 21 du Livre II de la Mécanique céleste.

q étant supposé égal à c " . Cette valeur de z donne

par conséquent,

^"*'^-««/. , ^'-l-i — 2rt n + i + 2

--"n'+^Hrir^?--^--^î=

En égalant cette quantité à la fraction ^, on aura

log/r / i-Jrx — in n+/+2. ,\ ^ — ~Z~ \ ' ^' " ir- -^r — log« ;

or on a

on aura donc à très peu près, pour l'expression du nombre «de tirages,

après lesquels la probabilité que tous les numéros seront sortis est -,

i=:(logn-loglogA-)(«-| + i|og/r)+4Iog/r;

on doit observer que tous ces logarithmes sont hyperboliques.

Supposons la loterie composée de loooo numéros, ou n = loooo, et ^ = 2, cette formule donne

pour l'expression du nombre de tirages, dans lesquels on peut parier un contre un, que les dix mille billets de la loterie sortiront; il v a donc un peu moins d'un contre un à parier qu'ils sortiront dans

95767 tirages, et un peu plus d'un contre un à parier qu'ils sortiront

dans 95768 tirages.

On déterminera par une analyse semblable le nombre des tirages dans lesquels on peut parier un contre un que tous les numéros de la loterie de France sortiront. Cette loterie est, comme on sait, composée de 90 numéros dont cinq sortent à chaque tirage. La probabilité que tous les numéros sortiront dans i tirages est alors, par ce qui précède,

n étant ici égal à 90, et s' devant être supposé nul dans le résultat dn calcul. Si l'on fait s = s' — -2, cette fonction devient

ou, en développant en série,

s devant être supposé égal à — 2 dans le résultat du calcul.

On a, par le n° 40 du Livre P^ en négligeant les termes de l'ordre l^

et supposant c"'' très petit de l'ordre ->

^" V ' "^ 57 " 5i(i — c'-«; a étant donnée par l'équation

On a ainsi, en négligeant les termes de l'ordre j^-,

(n — 2)""' (1 — (.•-«)»' ' ' \5n-iy \ 10! 101