X -\- X — } q ix-^-x —i][x + x'—-i] q

i.2.3...(.r' — i) p'-^'-^ et la seconde peut être transformée dans celle-ci

La somme de ces expressions est le développement du binôme {p'-+- q'Y^-^'~\ et par conséquent elle est égale à l'unité, parce que, A ou B devant gagner chaque coup, la somme p' -h q' de leurs probabilités pour cela est l'unité.

Le problème que nous venons de résoudre est celui que l'on nomme problême des partis dans l'Analyse des hasards. Le chevalier de Méré le proposa à Pascal, avec quelques autres problèmes sur le jeu de dés. Deux joueurs dont les adresses sont égales ont mis au jeu la même somme; ils doivent jouer jusqu'à ce que l'un d'eux ait gagné un nombre de fois donné son adversaire; mais ils conviennent de quitter le jeu, lorsqu'il manque encore oc points au premier joueur pour atteindre c<' nombre donné, et lorsqu'il manque ûo' points au second joueur. On demande de quelle manière ils doivent se partager la somme mise au jeu. Tel est le problème que Pascal résolut au moyen de son triangle arithmétique. Il le proposa à Fermât qui en donna la solution par la voie des combinaisons, ce qui occasionna entre ces deux grands géomètres une discussion, à la suite de laquelle Pascal reconnut la bonté de la méthode de Fermât, pour un nombre quelconque de joueurs. Malheureusement nous n'avons qu'une partie de leur correspondance, dans laquelle on voit les premiers éléments de la théorie des probabilités