LIVRE II

et leur application à l'un des problèmes les plus curieux de cette théorie.

Le problème proposé par Pascal à Fermât revient à déterminer les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie; car il est clair que l'enjeu doit être partagé entre les joueurs proportionnellement à leurs probabilités. Ces probabilités sont les mêmes que celles (le deux joueurs A et B, qui doivent atteindre un nombre donné de points, X étant le nombre de ceux qui manquent au joueur A, et .r' étant le nombre de ceux qui manquent au joueur B, en imaginant une urne renfermant deux boules dont l'une est blanche et l'autre est noire, toutes deux portant le n" i , la boule blanche étant pour le joueur A, et la boule noire pour le joueur B. On tire successivement une de ces boules, et on la remet dans l'urne après chaque tirage. En nommant y^^a;' la probabilité que le joueur A atteindra, le premier, le nombre donné de points, ou, ce qui revient au même, qu'il aura ^r points avanf (|ue B en ait x', on aura

car, si la boule que l'on extrait est blanche, j^^^' se change en j^,,^', et si la boule extraite est noire, j^,^- se change en j^^^,'^,, et la probabilité de chacun de ces événements est ^; on a donc l'équation précédente.

La fonction génératrice de y^^^' dans cette équation aux différences partielles est, par le n^ 20 du Livre I",

M étant une fonction arbitraire de t'. Pour la déterminer, nous observerons que /«.o ne peut avoir lieu, puisque la partie cesse lorsque l'une ou l'autre des variables^ et x' est nulle; M doit donc avoir pour facteur t'. De plus jo,x' est l'unité, quel que soit x', la probabilité du joueur A se changeant alors en certitude : or la fonction génératrice de

l'unité est généralement ^ ^,^ car les coefficients des puissances de /'

dans le développement de cette fonction sont tous égaux à l'unité; dans le cas présent, yo,x' pouvant avoii* lieu lorsque x' est ou i, ou 2, ou 3, etc., «doit être égal à l'unité; la fonction génératrice de yoy est

donc égale à -^37;-, c'est le coefficient de /" dans le développement de

la fonction génératrice de j^^^;' ou dans

on a donc ce qui donne

par conséquent la fonction génératrice dey^.,^- est

En la développant par rapport aux puissances de /, on a

\ — t'\i\ — U'i-^[\ — U'Y 2^(1 — ^/')3 ■ Le coefficient de t^ dans cette série est

ja.,^- est donc le coefficient de t"^' dans cette dernière quantité; or on a

En réduisant en série le dénominateur de cette dernière fraction et multipliant le numérateur par cette série, on voit que le coefficient de t"" dans ce produit est ce que devient ce numérateur lorsqu'on y fait t' = 1;

on a donc

1 xix + i) j xix -\-i][x -h 2] I

résultat conforme à ce qui précède.

Concevons présentement qu'il y ait dans l'urne une boule blanche portant le n° i, et deux boules noires, dont une porte le n° i, et l'autre porte le n*' 2, la boule blanche étant favorable à A, et les boules noires à son adversaire, chaque boule diminuant de son numéro le nombre de

points qui manquent au joueur auquel elle est favorable. 7,.^. étant toujours la probabilité que le joueur A atteindra le premier le nombre donné, on aura l'équation aux différences partielles

car, au tirage suivant, si la boule blanche sort, y^^^' devient 7x-i,x ; !^i la boule noire numérotée i sort, j^,^- devient j^.^',, et si la boule noire numérotée 2 sort, j^,^- devient 7^,^ 2, et la probabilité de chacun de ces événements est^.

La fonction génératrice de y^^^' est

M étant une fonction arbitraire de^, qui doit, par ce qui précède, avoir pour facteur t', et dans le cas présent être égale à

I ^f i ' i '■ 3 ^ lien sorte que la fonction génératrice de j^. ^^ est

Le coefficient de /-^dans le développement de cette fonction est