LIVRE IL

Concevons encore qu'il y ait dans l'urne deux boules blanches distinguées, comme les deux boules noires, par les n**^ 1 et 2; la probabilité du joueur A sera donnée par l'équation aux différences partielles

X-c. x> — I J.c- \,x'+ î J.c- 2 , X' -1- 7, Xx.x'- I -+- i J.r , x'--2 •

La fonction génératrice dey^,^' est alors, par le n" 20 du Livre V\

M et N étant deux fonctions arbitraires de t\ Pour les déterminer, on observera que j^^^- est toujours égal à l'unité, et qu'il faut exclure dans M la puissance nulle de t'; on a donc

Pour déterminer N, cherchons la fonction génératrice de y^,^'. Si l'on observe quey^^a/ est égal à l'unité, et que, le joueur A n'ayant plus besoin que d'un point, il gagne la partie, soit qu'il amène la boule blanche numérotée r ou la boule blanche numérotée 2, l'équation précédente aux différences partielles donnera

Supposons j<a/= I —y'a;", on aura .ni,: tu

La fonction génératrice de cette équation est

m -h ni'

m et w étant deux constantes. Pour les déterminer, on observera que j,„ ~ o, et que par conséquent y„ = i, ce qui donne m = i. La fonc-

OEuvres de L. — VU. 28

tion génératrice de y'^., est donc