LIVRE IT

on aura

Si l'on rejette de cette série toutes les puissances de t autres que t^ et toutes les puissances de t' supérieures à t'^\ et si dans ce qui reste on fait ; = I, /'= I, on aura l'expression dej'a;,^; lorsque^ est égal ou plus grand que l'unité; lorsque x est nul, on a j^^^ = i. Il est facile de traduire ce procédé on formule, comme on l'a fait pour le cas précédent. Nommons z^,^'\2i probabilité du joueur B; la fonction génératrice de 5^,^ sera ce que devient la fonction génératrice dey^.,^;' lorsqu'on y change t en t\ et réciproquement, ce qui donne, pour cette fonction.

En ajoutant les deux fonctions génératrices, leur somme se réduit à dans laquelle le coefficient de t-'t'-^' est l'unité; ainsi l'on a

ce qui est visible d'ailleurs, puisque la partie doit être nécessairement gagnée par l'un des joueurs.

9. Concevons dans une urne /• boules marquées du n" i, /• boules marquées du n'' 2, r boules marquées du n" 3, et ainsi de suite jusqu'au n° n. Ces boules étant bien mêlées dans l'urne, on les tire toutes suc-

cessivement; on demande la probabilité qu'il sortira au moins une de ces boules au rang indiqué par son numéro, ou qu'il en sortira au moins deux, ou au moins trois, etc.

Cherchons d'abord la probabilité qu'il en sortira au moins une. Pour cela, nous observerons qu'aucune boule ne peut sortir à son rang que dans les n premiers tirages; on peut donc ici faire abstraction des tirages suivants; or le nombre total des boules étant m, le nombre de leurs combinaisons n à n, en ayant égard à l'ordre qu'elles observent entre elles, est, par ce qui précède,

rn[rn — \][ra — 0.) . . .[ m — n + i ) ;

c'est donc le nombre de tous les cas possibles dans les n premiers tirages.

Considérons une des boules marquées du n*" i, et supposons qu'elle sorte à son rang, ou la première. Le nombre des combinaisons des nt. — r autres boules prises n ~ i k n — \ sera

[m — î) [m — 2) . . .{rn ~ /i -1- i) ;

c'est le nombre des cas relatifs à la supposition que nous venons de faire, et, comme cette supposition peut s'appliquer aux r boules marquées du n" I, on aura

r[ni — i][rn~2)...{rn — n -\- i )

pour le nombre des cas relatifs à l'hypothèse qu'une des boules marquées du no I sortira à son rang. Le même résultat a lieu pour l'hypothèse qu'une quelconque des n — i autres espèces de boules sortira au rang indiqué par son numéro. En ajoutant donc tous les résultats relatifs à ces diverses hypothèses, on aura

[a] nr[rn — i) (m — -2). . . (m ~ n -\- i),

pour le nombre des cas dans lesquels une boule au moins sortira à son rang, pourvu toutefois que l'on en retranche les cas qui sont répétés. Pour déterminer ces cas, considérons une des boules du n*' i, sor-