LIVRE II

tant la première, et une des boules du n° 2, sortant la seconde. Ce cas est compris deux fois dans le nombre précédent ; car il est compris une fois dans le nombre des cas relatifs à la supposition qu'une des boules numérotées i sortira à son rang, et une seconde fois dans le nombre des cas relatifs à la supposition qu'une des boules numérotée 2 sortira à son rang; et, comme cela s'étend à deux boules quelconques sortant à leur rang, on voit qu'il faut retrancher du nombre des cas précédents le nombre de tous les cas dans lesquels deux boules sortent à leur rang.

Le nombre des combinaisons de deux boules de numéros différents

est '^i^ " -],J2; car le nombre des numéros étant/i, leurs combinaisons 1.1

deux à deux sont au nombre '^^ ~^, et dans chacune de ces combi-

naisons on peut combiner les r boules marquées d'un des numéros avec les r boules marquées de l'autre numéro. Le nombre des combinaisons des m — 2 boules restantes, prises n — 2-à n — 2, en ayant égard à l'ordre qu'elles observent entre elles, est

( /'w — •?. ) ( r/i — 3 ) . . . ( r/i — rt H- 1 ) ;

ainsi le nombre des cas relatifs à la supposition que deux boules sortent à leur rang est

"■i":-!} r^rn~'i)[rn - 3). . .(m - n+i);

en le retranchant du nombre {a), on aura

nr[rn — i){rn — 2). . .[rn — n -i- i)

^('Llll) r^rn~2]{rn~ 3). . .(m - n -+- r),

pour le nombre de tous les cas dans lesquels une boule au moins sortira à son rang, pourvu que l'on retranche encore de cette fonction les cas répétés, et qu'on lui ajoute ceux qui manquent.

Ces cas sont ceux dans lesquels trois boules sortent à leur rang. En nommant /• ce nombre, il est répété trois fois dans le premier terme de

la fonction («'); car il peut résulter, dans ce terme, des trois suppositions de chacune des trois boules sortant à son rang. Le nombre k est pareillement compris trois fois dans le second terme de la fonction ; car il peut résulter de chacune des suppositions relatives à deux quelconques des trois boules sortant à leur rang. Ainsi, ce second terme étant affecté du signe -, le nombre k ne se trouve point dans la fonction [a')\ il faut donc le lui ajouter pour qu'elle contienne tous les cas dans lesquels une boule au moins sort à son rang. Le nombre des com- ])inaisons des n numéros pris trois à trois est ''i--':i'K^lz:^, et, comme

on peut combiner les r boules d'un des numéros de chaque combinaison avec les r boules du second numéro et avec les r boules du troisième numéro, on aura le nombre total des combinaisons dans lesquelles trois boules sortent à leur rang, en multipliant Mj^iiOl^-^) ^3 ^^^

(m — 3) (m — 4) . . . (m — w -f- 1), nombre qui exprime celui des combinaisons des m — 3 boules restantes, prises /i — 3 à « — 3, en ayant égard à l'ordre qu'elles observent entre elles. Si l'on ajoute ce produit à la fonction («'), on aura

Cette fonction exprime le nombre de tous les cas dans lesquels une boule au moins sort à son rang, pourvu que l'on en retranche encore les cas répétés. Ces cas sont ceux dans lesquels quatre boules sortent à leur rang. En y appliquant les raisonnements précédents, on verra qu'il faut encore retrancher de la fonction [a") le terme

:-ïT^ '^ '* { ^« - 4 ) ( m — 5 ) . . . ( m - « + , ) .

En continuant ainsi, on aura, pour l'expression du nombre des cas dans