s/i — /\oc en supposant donc a = pqt'^, on aura

on aura ainsi

la série du dénominateur étant continuée exclusivement jusqu'aux puissances de t supérieures à a. Ce second membre doit être, par ce qui précède, divisé par i — /'-, pour avoir la fonction génératrice dej^,^-; la quantité j«,y est donc la somme des coefficients des puissances de t', en ne considérant dans le développement de ce membre par rapport aux puissances de /' que les puissances égales ou inférieures à x'. Chacun de ces coefficients exprimera la probabilité que X gagnera la partie au coup indiqué par l'exposant de la puissance de t' . Si l'on nomme z, le coefficient correspondant à t""^^', on aura gêné-"

ralement

aia — 3) , „ o = Zi—apqzi-i H ^ '- p^q^zi^2 — - ■ •;

d'où il est facile de conclure les valeurs de :>,, Sj, . .., en observant que ;,, ::2, . . . sont nuls, et que ^o =/>"• I^a valeur de 5, étant égale à ya,a^2i - J«,«^2/-2. on aura celles de j«,«, y^,»^.,, ya,a^,, etc. L'équation aux différences partielles à laquelle on est immédiatement conduit se trouve ainsi ramenée à une équation aux différences ordinaires, qui détermine, en l'intégrant, la valeur de r^,^. Mais on peut obtenir cette

Or.uvres de L. — VII. 3Q

valeur par le procédé suivant, qui s'applique au cas général où a et 6 sont égaux ou différents entre eux.

Reprenons la fonction génératrice de j^,^;' trouvée ci-dessus ; ya,x' ^'^^ le coefficient de t^'~'' dans le développement de la fonction

en supposant

11 résulte du n" 5 du Livre P'" que, si l'on considère les deux ternies

que l'on fasse ensuite successivement l'=i et ^'= — i dans le premier terme, et t' égal successivement à toutes les racines de l'équation Q -^ o dans le second terme, la somme de tous les termes que l'on obtient de cette manière sera le coefficient de t'^' dans le développement de la fraction

Ce que le premier terme produit dans cette somme est

-,a nd

Pour avoir les racines de l'équation Q = o, nous ferons

"i-S pq cosGî

ce qui donne

( CCS GT + sj'^^i sin cj Y^^ — ( ces rn - y/— t sin vsY'^

y— 1 sinnr (cosgt)""^*-'