LIVRE II

OU

„ 2 sinfût -f- Z>)m

sinny(cosnj)"'*"^~' Les racines de l'équation Q = o sont donc représentées par

r étant un nombre entier positif qui peut s'étendre depuis r=o jusqu'à r= a-{- b — 2. Lorsque « -+- Z> est un nombre pair, ^iz est une des valeurs de cj; il faut l'exclure, parce que, cosct devenant nul alors, cette valeur de cr ne rend pas Q nul. Dans ce cas, l'équation Q = o n'a que a -h- b — 2 racines; mais, comme le terme dépendant de la valeur cj=z: ^t: est multiplié dans l'expression de ya,x' par une puissance positive de cos^-'^^ — ~-y on peut conserver la valeur de rqui donne cj = ^77,

puisque le terme qui lui correspond dans l'expression de ya,x' disparaît.

Maintenant on a

dQ dQ d^ dt' ~ dus dt' '

d'où l'on tire, en vertu de l'équation sin(a -i- b)vs = o,

dQ 4(rtH- b]s/pqcos{r-+- iJtt 4(a -^b]\j'p'q[— i)^^-' dt' ~ sin2cj(cos5j)«-^*-3 — sin2GT( ces gj )«+*-»

Le terme

^ ' dt'

en observant que devient ainsi

p asmacT

smcj cosin

,pq '■+-' sm ^ ; - sm ^,— ces ^ 'j-

{a-^b)^p^--:ipq ces ''^^'^'^l''^ + 7=]

Ét-2/4-I

la somme de tous les termes que l'on obtient, en donnant à /' toutes les valeurs entières et positives, depuis /■ = o jusqu'à r= a + h — 2, sera ce que produit la fonction

^ ' dV

nous désignerons cette somme par la caractéristique S placée devant la fonction (A).

Si l'on fait r'-t- r = « -+- è — (r-t- i), on aura

— ces -i— )

De là il est facile de conclure que, dans la fonction (A), le terme relatif à r-l- I est le même que le terme relatif à r'H- 1 ; on peut donc doubler ce terme, et n'étendre alors la caractéristique S qu'aux valeurs de r

comprises depuis /• = o jusqu a r= •, si a -+- o est pair, ou

r= ) si a -\~ b est impair. Cela posé, en observant que

. sni ^ '-,'- — — iVsin S— »

sin

ces

2ir'+ 1)7:

on aura

Ta. 6+2/ — Z^J^-ZTq^b

. i[r+\)-K . [r+i]b'Ky (r-f- OTr'l*"'^'

/,^.,,u.o hf \,-^, sni — ^~sm-- ^T— cos^^ '— \

' j __ ^ 'J^ P^ImY^ o ^ + ^ <oM- b L « + ^J

p- — ipq ces -'^ / 'r- q^

En changeante en b, p en q, et réciproquement, on aura la probabilité que le joueur B gagnera la partie avant le coup a 4- "2.1, ou à ce coup.