LIVRE II

t étant supposé l'unité après les différentiations, ce qui donne

-ji =(^"-<-0^(t-^)[^'~'-+-(i-^)'-']-2'V('-^)'-i,

T={.~q]qilx-[x-qn dV

--^j = i{' - q)q'b - ^{' - q)'] - qq'b - i' - q)']-

dV On aura T" cI-tt- en changeant, dans ces deux dernières expressions,

q dans i — q.

13. Une urne étant supposée contenir n + i boules, distinguées par les n^'^o, I, 2, 3, . . .,/i, on en tire une boule que l'on remet dans l'urne après le tirage. On demande la probabilité qu'après i tirages la somme des nombres amenés sera égale à s.

Soient t^, t.^, t^, . . . , ti les nombres amenés au premier tirage, au second, au troisième, ... ; on doit avoir

^2» ti, . .. , ti étant supposés ne pas varier, cette équation n'est susceptible que d'une combinaison. Mais, si l'on fait varier à la fois /, et t^, et si l'on suppose que ces variables puissent s'étendre indéfiniment depuis zéro, alors le nombre des combinaisons qui donnent l'équation précédente sera

car t^ peut s'étendre depuis zéro, ce qui donne

jusqu'à ^ — ^3 — ^, — ... — /,, ce qui donne t^ = o, les valeurs négatives des variables t,, t^ devant être exclues.

Maintenant, le nombre s -^ i — t^ — t, — . . . - t- çtsi susceptible de plusieurs valeurs, en vertu des variations de t^,t^ Supposons

OEuvres de L. — VU. 33

d'abord ^,,, /g, ... invariables, et que t^ puisse s'étendre indéfiniment depuis zéro; alors, si l'on fait

en intégrant cette variable dont la différence finie est l'unité, on aura

" — — — pour son intégrale; mais, pour avoir la somme de toutes les

valeurs de x, il faut, comme l'on sait, ajouter ^r à cette intégrale ; cette

somme est donc --^ '" Il faut y faire o^ égal à sa plus grande valeur,

que l'on obtient en faisantes nul dans la fonction .y + \ — t^ — t., — -... — /^: ainsi le nombre total des combinaisons relatives aux variations de ^,, /o et ^3 est

En faisant encore dans cette fonction

elle devient -\ en l'intégrant depuis a? = oeten ajoutant la fonction elle-même à cette intéarrale, on aura -- — !l^i£-Zlli. la valeur de ^

nulle répond ^à t.,=^ s -\- 1 — t^ — ... — ti, et sa plus grande valeur répond à tj^ nul, et par conséquent elle est égale à 5 + 2 — ^5 — . . . — /,; en substituant donc pour a? cette valeur dans l'intégrale précédente, on aura

{s + ^ — tr,— t6 — ...~ti]{s + Q. — tr,--t6 — ...— ti){s + i — ti—iQ — ...~ti)

pour la somme de toutes les combinaisons relatives aux variations de t, , t.,, ^3, t,,. En continuant ainsi, on trouvera généralement que le nombre total des combinaisons qui donnent l'équation (i), dans la supposition où les variables ï, , t^, ..., ti peuvent s'étendre indéfiniment depuis zéro, est (a\ [s -^ i - i){s -h i - :t]{s -h i - 3) . . .{s -\- 1) ^