LIVRE II

mais, dans la question présente, ces variables ne peuvent pas s'étendre au delà de n. Pour exprimer cette condition, nous observerons que, l'urne renfermant n + i boules, la probabilité d'extraire l'une quelconque d'entre elles est — — -; ainsi la probabilité de cbacune des valeurs de /,, depuis zéro jusqu'à «, est --^- La probabilité des valeurs de ^, égales ou supérieures à ai 4- i, est nulle; on peut donc la représenter par —~—— > pourvu que l'on fasse /= i dans le résultat du calcul ; alors la probabilité d'une valeur quelconque de t^ peut être généralement exprimée par — - — 5 pourvu qu on ne lasse commencer /,

que lorsque ;, aura atteint n-^i, et qu'on le suppose à la fin égal à l'unité; il en est de même des probabilités des autres variables. Maintenant, la probabilité de l'équation (1) est le produit des probabilités

/ 1 — /«"^'\' des valeurs de t,, t^, t^, ...; cette probabilité est donc (^-,^^^-) i le

nombre des combinaisons qui donnent cette équation, multipliées par leurs probabilités respectives, est ainsi le produit de la fraction {a) par I - /«+''

ou

mais il faut, dans le développement de cette fonction, n'appliquer 1"+' qu'aux combinaisons dans lesquelles une des variables commence à surpasser n: il faut n'appliquer P"^^ qu'aux combinaisons dans lesquelles deux des variables commencent à surpasser n, et ainsi du reste. Si dans l'équation (i) on suppose qu'une des variables, /,, par exemple, surpasse n, en faisant tf = n -h i -+- 1\, cette équation devient

la variable t\ pouvant s'étendre indéfiniment. Si deux des variables telles que ^, et t^ surpassent n, en faisant

l'équation devient

et ainsi de suite. On doit donc, dans la fonction {a) que nous avons dérivée de l'équation (i), diminuer^de/i + i, relativement au système des variables t\, t^, t^, On doit le diminuer de 2/^4-2, relativement au système des variables t\, t'^, t^, . . . , et ainsi du reste. Il faut par conséquent, dans le développement de la fonction {b) par rapport aux puissances de /, diminuer, dans cbaque terme, s de l'exposant de la puissance de /; en faisant ensuite /= i, cette fonction devient

5+i)(5-f 2). ..(5-4-/— i) i{s — n]{s — n-i-i]...(s-hi — ii — i)

i{i—j)(s — in — i){s — '2n]...(s-hi—in — 3]

la série devant être continuée jusqu'à ce que l'un des facteurs s — n, s — 2 71 — î, S — 3n — 2, ... devienne nul ou négatif.

Cette formule donne la probabilité d'amener un nombre donnée, en projetant « dés d'un nombre n -h i de faces chacun, le plus petit nombre marqué sur ces faces étant i . Il est visible que cela revient à supposer dans l'urne précédente tous les nombres des boules augmentés de l'unité, et alors la probabilité d'amener le nombre s + «dans i tirages est la même que celle d'amener le nombre s dans le cas que nous venons de considérer; or, en faisant s -+• i = s', on a s = / — i; la formule (c) donnera donc, pour la probabilité d'amener le nombre s' en projetant les i dés,

{s'-i){s'-i)...[s'—i-i-i) ils'—n-2]{s'-n-3]...(s'—i — n)

i{i — 0 [s' ~2n — 3)is'—^n — ^). . .{s' — i — in — i]

La formule (c), appliquée au cas oii s ein sont des nombres infinis, se transforme dans la suivante :

i .2.6. . .[i — i]n\\nj \n ) 1.2 \n ) J