LIVRE II

On a, par ce qui précède, x =^ np -\- z, z étant un nombre plus petit que l'unité; on a donc

ainsi la formule (o) exprime la probabilité que la différence entre le rapport du nombre de fois que l'événement a doit arriver au nombre total des coups, et la facilité p de cet événement, est comprise dans les limites

\jixx' étant égal à

«y •^/'ii— /^]-^--i'

on voit ue l'intervalle compris entre les limites précédentes est de

l'ordre —=' sjn

Si la limite de /, que nous désignerons par T, est supposée invariable, la probabilité déterminée par la fonction (o) reste la même à très peu près; mais l'intervalle compris entre les limites (/) diminue sans cesse à mesure que les coups se répètent, et il devient nul, lorsque leuj' nombre est infini.

Cet intervalle étant supposé invariable, lorsque les événements se multiplient, T croît sans cesse, et à fort peu près comme la racine carrée du nombre des coups. Mais, lorsque T est considérable, la formule (o) devient, par le n** 27 du Livre I^'",

q étant égal à "™^- Lorsqu'on fait croître T, c ^' diminue avec une ex-

Irême rapidité, et la probabilité précédente s'approche rapidement de l'unité, à laquelle elle devient égale, lorsque le nombre des coups est infini.

Il y a ici deux sortes d'approximations : l'une d'elles est relative aux limites prises de part et d'autre de la facilité de l'événement a\ l'autre approximation se rapporte à la probabilité que le rapport des arrivées de cet événement au nombre total des coups sera renfermé dans ces limites. La répétition indéfinie des coups accroît de plus en plus cette probabilité, les limites restant les mêmes; elle resserre de plus en plus l'intervalle de ces limites, la probabilité restant la même. Dans l'infini, cet intervalle devient nul, et la probabilité se cbange en certitude.

L'analyse précédente réunit à l'avantage de démontrer ce théorème celui d'assigner la probabilité que, dans un grand nombre n de coups, le rapport des arrivées de chaque événement sera compris dans des limites données. Supposons, par exemple, que les facilités des naissances des garçons et des filles soient dans le rapport de i8 à 17, et qu'il naisse dans une année i4ooo enfants; on demande la probabilité que le nombre des garçons ne surpassera pas 7363, et ne sera pas moindre que 7037.

Dans ce cas, on a

p = ^! 0^ = 7200, ;a;'=68oo, « = i4ooo, /==:i63;

la formule (o) donne à fort peu près o,9943o3 pour la probabilité cherchée.

Si l'on connaît le nombre de fois que sur n coups l'événement a est arrivé, la formule (o) donnera la probabilité que sa facilité jo, supposée inconnue, sera comprise dans des limites données. En effet, si l'on nomme i ce nombre de fois, on aura, par ce qui précède, la probabilité

que la différence p sera comprise dans les limites ± s'^^^ ^ f .

par conséquent, on aura la probabilité que p sera compris dans les