LIVRE II

limites

i T sjixx' z

La fonction — " — étant de l'ordre -=, on peut, en nédigeant les tisjn sjn ^ ^

quantités de l'ordre -, y substituer i au lieu de oc et n — i au lieu de

x'-, les limites précédentes deviennent ainsi, en négligeant les termes

de l'ordre -•> n

et la probabilité que la facilité de l'événement a est contenue dans ces limites est égale à

\Jiz \/Tï\h.i[n — ■:)

On voit ainsi que, à mesure que les événements se multiplient, l'intervalle des limites se resserre de plus en plus, et la probabilité que la valeur de p tombe dans ces limites approche de plus en plus de l'unité ou de la certitude. C'est ainsi que les événements, en se développant, font connaître leurs probabilités respectives.

On parvient directement à ces résultats, en considérant p comme une variable qui peut s'étendre depuis zéro jusqu'à l'unité, et en déterminant, d'après les événements observés, la probabilité de ses diverses valeurs, comme on le verra lorsque nous traiterons de la probabilité des causes déduite des événements observés.

Si l'on a trois ou un plus grand nombre d'événements a, b,c, .. ., dont un seul doive arriver à chaque coup, on aura, par ce qui précède, la probabilité que, dans un très grand nombre n de coups, le rapport du nombre x de fois qu'un de ces événements, a par exemple, arrivera, au nombre n, sera compris dans les limites p ± x, <x. étant une très petite fraction, et l'on voit que, dans le cas extrême du nombre n infini, l'intervalle 2a de ces limites peut être supposé nul, et la probabilité

peut être supposée égale à la certitude, en sorte que les nombres des arrivées de chaque événement seront proportionnels à leurs facilités respectives.

Quelquefois les événements, au lieu de faire connaître directement les limites de la valeur de p, donnent celles d'une fonction de cette valeur; alors on en conclut les limites de p, par la résolution des équations. Pour en donner un exemple fort simple, considérons deux joueurs A et B, dont les adresses respectives soient/? et i —p, et jouant ensemble à cette condition, que la partie soit gagnée par celui des deux joueurs qui, sur trois coups, aura vaincu deux fois son adversaire, le troisième coup n'étant pas joué, comme inutile, lorsque l'un des joueurs a vaincu dans les deux premiers coups.

La probabilité de A pour gagner la partie est la somme des deux premiers termes du binôme [/? H- (i — p)f ; elle est par conséquent égale à /?^ H- 3/?^(i — /?). Soit P cette fonction; en élevant le binôme P -+- (i — P) à la puissance n, on aura, par l'analyse précédente, la probabilité que, sur le nombre n de parties, le nombre des parties gagnées par A sera compris dans des limites données. Il suffit pour cela de changer /? en P dans la formule (o).

Si l'on nomme i le nombre des parties gagnées par A, la formule (o') donnera la probabilité que P sera compris dans les limites

^ n \J II

Soit donc p' la racine réelle et positive de l'équation

3/>Mi-/>) = f,=

en désignant par p' zç. tp les limites de/?, les limites correspondantes de P seront à très peu près 3/?'^ — 2/?'^ =f 6/?'(i — p')^p', en égalant ces limites aux précédentes, on aura

6p'(i — p')n \Jn