LIVRE II

ainsi la formule (o') donnera la probabilité que p sera compris dans les limites

, __ T v'2 / ( n — /■ ) 6p'[i ~ p')ns^n

Le nombre n des parties ne détermine pas le nombre des coups, puisqu'il peut y avoir des parties de deux coups, et d'autres de trois coups. On aura la probabilité que le nombre des parties de deux coups sera compris dans des limites données, en observant que la probabilité d'une partie à deux coups est p^ + [i~ pf; désignons cette fonction par P'. En élevant le binôme P'+ (i — P') à la puissance n, la formule (o) donnera la probabilité que le nombre des parties de deux coups sera compris dans les limites nP'±:/; or le nombre des parties de deux coups étant nV'±l, le nombre des parties à trois coups sera n{i — P) q= /; le nombre total des coups sera donc 3/î — /iP'if:/; la formule (o) donnera donc la probabilité que le nombre des coups sera compris dans les limites

17. Considérons une urne A renfermant un très grand nombre n de boules blanches et noires, et supposons qu'à chaque tirage on tire une boule de l'urne, et qu'on la remplace par une boule noire. On demande la probabilité qu'après r tirages le nombre des boules blanches sera .r.

Nommons y^^^ cette probabilité. Après un nouveau tirage, elle devient j^,^+,. Mais, pour qu'il y ait a- boulesblanches aprèsr + i tirages, il faut qu'il y ait ou x + 1 boules blanches après le tirage r et que le tirage suivant fasse sortir une boule blanche, ou x boules blanches après le tirage/- et que le tirage suivant fasse sortir une boule noire. La probabilité qu'il y aura .r -+- i boules blanches après /• tirages est yx^x,r, et la probabilité qu'alors le tirage suivant fera sortir une boule blanche est '-— ; la probabilité de l'événement composé est donc ^— J:r^<.r; cest la première partie dej^,,^,. La probabilité qu'il y

OEuvres de L. — VII. qiy

290 THÉORIE x\NALYTlQUE DES PROBABILITÉS,

aura .v boules blanches après le tirage r est j^,..., et la probabilité qu'alors il sortira une boule noire est ^^-^, parce que le nombre des boules noires de l'urne est n — x ; la probabilité de l'événement

composé est donc '-""- j^,r; c'est la seconde partie de ja-.rH.- Ainsi l'on a

Si l'on fait

X = n x', r= nr", fx.r = X'x',,-')

cette équation devient

n étant supposé un très grand nombre, on peut réduire en séries convergentes y 1 et y , ; on aura donc, en négligeant les carrés et

les puissances supérieures de -•>

l'intégrale de cette équation aux différences partielles est

9f^V) étant une fonction arbitraire de x'c", qu'il faut déterminer par

la valeur de y'jc;o-

Supposons que l'urne A ait été remplie de cette manière. On projette un prisme droit dont la base, étant un polygone régulier dep-hf/ côtés, est assez étroite pour que le prisme ne retombe jamais sur elle. Sur les/? +• q faces latérales, p sont blanches et q sont noires, et l'on met dans l'urne A, à chaque projection, une boule de la couleur de la face sur laquelle le prisme retombe. Après /? projections, le nombre des

boules blanches sera à fort peu près, par le numéro précèdent, y-^'