LIVRE lî

Turne A; le produit x{n — .T)n'^''z^^r est donc une des parties de

Il peut arriver encore que l'opération (/•+ i)'^'"^ fasse sortir et rentrer dans l'urne A une boule noire, ce qui conserve dans cette urne •r boules blanches. Ainsi n — x étant, après l'opération H"^""^, le nombre des boules noires de l'urne A, et x étant celui des boules noires de l'urne B, (n — x)xn^''z^^^ est encore une partie de /i^^'^^s^ ,.^.,.

S'il y a ,r — I boules blanches dans l'urne A après l'opération z^'"'"'' et que l'opération suivante en fasse sortir une boule noire et y fasse rentrer une boule blanche, il y aura x boules blanches dans l'urne A après l'opération (rn- i)''*'"''. Le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est le produit de /r''z•^__^,r par le nombre n — x -^ i des boules noires de l'urne A après le tirage r'^™^, et par le nombre n — x -{- i des boules blanches de l'urne B, après la même opération ; {n—x^ i )^/r%,,;. est donc encore une partie de n-'''^'-z^,^^, .

Enfin, s'il y a a; + i boules blanches dans l'urne A après l'opération /""■"*, et que l'opération suivante en fasse sortir une boule blanche et y fasse rentrer une boule noire, il y aura encore, après cette dernière opération, x boules blanches dans l'urne. Le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est le produit de n^''zj,^,,^ par le nombre x h- i des boules blanches de l'urne A, et par le nombre x -+- i des boules noires de l'urne B après l'opération r'^™*'; [x -h ij^n'^'s^^,,^ est donc encore une partie de n^'''^^^^^^,.

En réunissant toutes ces parties et en égalant leur somme à '^^'^^'^-u^.r+i» on aura l'équation aux différences finies partielles

Zx.r+i --- ( —^ ] 2,r-M.,- + y^- il- - ) Z.,.,r 4" ( I — "-----"- ) Zx^,.

Quoique cette équation soit aux différences du second ordre par rapport à la variable x, cependant son intégrale ne renferme qu'une fonction arbitraire qui dépend de la probabilité des diverses valeurs de r dans l'état initial de l'urne A. En effet, il est visible que, si l'on connaît les valeurs de 3,,,o correspondantes à toutes les valeurs de x depuis

^r = o jusqu'à X = jiy l'équation précédente donnera toutes les valeurs de z^^^, ^a-,2» ...» en observant que, les valeurs négatives de x étant impossibles, Zj.^r est nul lorsque x est négatif.

Si n est un très grand nombre, cette équation se transforme dans une équation aux différences partielles, que l'on obtient ainsi. On a alors, h très peu près,

dZx,r I d^Zx,r

Zx+\,r- — • ■Zx,r -r- •i^~ H '^ .>"■'