LIVRE II

en divisant la fraction précédente par celle-ci, on aura, pour la probabilité de X ou pour la valeur initiale de U,

Maintenant, si l'on observe que l'on a à très peu près, lorsque s est un grand nombre,

on trouvera facilement, après toutes les réductions, en faisant

n-\- ixJn x= — ■ — * — '^— )

et en négligeant les quantités de Tordre - qui ne sont pas multipliées par [j.^,

en faisant donc

on aura

Si le nombre m est infini, alors i^ = |, et la valeur initiale de U est

v/nTT Sa valeur, après un nombre quelconque de tirages, est

Le cas de m infini revient à celui dans lequel les urnes A et B seraient remplies, en projetant n fois une pièce qui amènerait indifféremment

croix ou pile, et mettant dans l'urne A une boule blanche chaque fois que croix arriverait, et une boule noire chaque fois que pile arriverait, et faisant l'inverse pour l'urne B. Car il est visible que la probabilité de tirer une boule blanche de l'urne G est alors i, comme celle d'amener croix ou pile.

En prenant l'intégrale J\]dx ou {J\]dii.\]n depuis ^= — a jusqu'à {/. = a, on aura la probabilité que le nombre des boules blanches de l'urne A sera compris dans les limites ±:ay/n.

On peut généraliser le résultat précédent, en supposant l'urne A remplie, comme au commencement de ce numéro, par la projection d'un prisme de p -h q faces latérales, dont p sont blanches et r/ sont noires. On a vu qu'alors, si l'on fait

j2 = LP±i

ipq

on a, à l'origine ou lorsque rest nul,

sjnv:

Supposons p aiq très peu différents, en sorte que l'on ait

on aura

ou, à très peu près, «^ = 2; donc

En faisant donc

n-{- ixsJn

Xz^ ^—^—-

Supposons maintenant qu'après un nombre quelconque de tirages on ait

g et a étant des fonctions de r'. Si l'on substitue cette valeur dans l'équation aux différences partielles en U, on aura

d'où l'on tire les deux équations suivantes :

dr' . doL

En les intégrant et observant qu'à l'origine de r', a = « et ê = 2, on aura

ce qui donne

Cherchons maintenant la valeur moyenne du nombre des boules blanches contenues dans l'urne A, après r tirages. Cette valeur est la somme des produits des divers nombres des boules blanches, multipliées par leurs probabilités respectives; elle est donc égale à l'intégrale

/n-\- ^. \Jn d^\Jn

prise depuis jx = - oo jusqu'à fy. =r as . En substituant pour U sa valeur

Œuvres de L.— \\\. oq

donnée par la formule {k), on aura, en vertu des théorèmes précédents/ pour cette intégrale,

A l'orisrine où /■ est nul, cette valeur est ^n -+- -~ U"^ ; ainsi l'on aura L'"'

au moyen du nombre des boules blanches que l'urne A contient à cette origine.

On peut obtenir fort simplement, de la manière suivante, la valeur moyenne du nombre des boules blanches, après r tirages. Imaginons que chaque boule blanche ait une valeur que nous représenterons par l'unité, les boules noires étant supposées n'avoir aucune valeur. 11 est clair que le prix de l'urne A sera la somme des produits de tous les nombres possibles de boules blanches qui peuvent exister dans l'urne, multipliés par leurs probabilités respectives; ce prix est donc ce que nous avons nommé valeur moyenne du nombre des houles blanches. Nommons-le z, après le tirage /^^™e. Au tirage suivant, s'il sort une boule blanche, ce prix diminue d'une unité ; or, si l'on suppose que x est le nombre des boules blanches contenues dans l'urne après le tirage

/^''™^ la probabilité d'en extraire une boule blanche sera '-•, en nom-

p\jx dx mant donc U la probabilité de cette supposition, l'intégrale I •>

étendue depuis ^ = o jusqu'à x = n, sera la diminution de z, résultante de la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne. Si l'on

fait, comme ci-dessus, '- = r , et si l'on désigne la fraction très petite - par dr' , cette diminution sera égale à zdr'\ car z est égal à fUxdx,

somme des produits des nombres des boules blanches par leurs probabilités respectives. Le prix de l'urne A s'accroît, si l'on extrait une boule blanche de l'urne B, pour la mettre dans l'urne A; or, ^ étant supposé le nombre des boules blanches de l'urne A, n — x sera celui des boules blanches de l'urne B, et la probabilité d'extraire une boule

blanche de cette dernière urne sera — -- ; en multipliant cette proba-