LIVRE II

hilité par la probabilité U de x, l'intégrale j"u"-^--^.r, prise depuis

r nul jusqu'à x= n, sera raccroissement de z. f\]{n - x)dx est le prix de l'urne B; en nommant donc z' ce prix, z'di' sera l'accroissement de ::; on aura donc

dz = z' dr' — z dr' .

La somme des prix des deux urnes est évidemment égale à /?, nombre des boules blanches qu'elles contiennent, ce qui donne z'r=rzn-~z\ substituant cette valeur de z dans l'équation précédente, elle devient

dz =:[n — iz) dr';

d'où l'on tire, en intégrant,

L*»^ étant une constante arbitraire, ce qui est conforme à ce qui précède.

On peut étendre toute cette analyse au cas d'un nombre quelconque d'urnes; nous nous bornerons ici à chercher la valeur moyenne du nombre des boules blanches que chaque urne contient après r tirages.

Considérons un nombre e d'urnes, disposées circulairement, et renfermant chacune le nombre n de boules, les unes blanches, et les autres noires, n étant supposé un très grand nombre. Supposons qu'après /• tirages, ^o, -,, z.„ ..., z^^ soient les prix respectifs des diverses urnes. Chaque tirage consiste à extraire en même temps une boule de chaque urne et à la mettre dans la suivante, en partant de l'une d'elles

dans un sens déterminé. Si l'on fait - == r' et - = dr', on aura, par le

raisonnement que nous venons de faire relativement à deux urnes,

dzi= [zi^ , — Zi) dr';

cette équation a lieu depuis i = i jusqu'à i=e~ i. Dans le cas de f z= e, on a

dzo— {Ze-^ — Zo) dr'.

En intégrant ces équations, et supposant qu'à l'origine les prix respectifs de chaque urne, ou les nombres des boules blanches qu'elles contiennent, soient

/o > / 1 , • • . , Je- 1 ,

on parvient à ce résultat, qui a lieu depuis i—o jusqu'à i =e ~ i ,

An ces ar

2,-= -Se ^ " '

~A, COS — ^ ar'

-A2 ces '-' ar

-le-, COS ' ar'

le signe S s'étendant à toutes les valeurs de s, depuis .9= i jusqu'à s = e, et « étant égal à sin ^ Le terme de cette expression, correspondant k s = e, est indépendant de /•', et égal à - {l^ -f-X< + ...4- a^,),

c'est-à-dire à la somme entière des boules blanches des urnes divisée par leur nombre. Ce terme est la limite de l'expression de ^,, d'où il suit qu'après un nombre infini de tirages les prix de chaque urne sont égaux entre eux.