LIVRE II

qu'à X =^ a, X étant supposé, ainsi que a, divisé dans une infinité de parties prises pour unité. Présentement, il est clair que le terme indépendant des exponentielles, dans le produit de la fonction précédente par <7-W-«-^'î^V- < , est la probabilité que la somme des erreurs de chaque observation, multipliées respectivement par m, m^^\ ..., ou la fonction (m), sera égale à /, en même temps que la fonction (n), somme des erreurs de chaque observation, multipliées respectivement par n, /^^'^ ..., sera égale à /'; cette probabilité est donc

l 2/9 ( - j ces {mtj3-v nm')x'X.

X 2/9 ( - j cos(/n(^-OcctH-n(- i)5j'):c ]

les intégrales étant prises depuis ct et w' égaux à — -, jusqu'à ts et w égaux à 77. Cela posé :

En suivant exactement l'analyse du numéro précédent, on trouve que la fonction précédente se réduit à très peu près à

' f> r 1 t , — 'îJ \'^ — /'ctV— 1 r n»[^^»S//^'')2^-2^J^I'.S«^(')rtC'^+GJ■'.Sn(')^I

y— 7, I I dm dus c *

A et k" ayant ici la même signification que dans le numéro cité. On voit encore, par le même numéro, que les intégrales peuvent s'étendre depuis «CT = — co , acj' = ~ ce , jusqu'à avs = ce et aci' — 00 . Si l'on fait

t = am

Sm(')2 2A"a.S/n(02'

~^^ 2A"a Sm(')2.SAi(')2~jr(s""^)^^(7T)â' si l'on fait ensuite

E=: Smf')2.Sn(')2 (Sm(')n('))2,

la double intégrale précédente devient

U'Sm{'-)n'J)^nSmii)^] C T dt dt' - — S mO- -*1£1^-

OEuvres de L. — VU. i^2

En prenant les intégrales dans les limites infinies positives et négatives, comme relies relatives à ars et avs', on aura

^-'Ç%VË

Il faut maintenant, pour avoir la probabilité que les valeurs de / et de /' seront comprises dans des limites données, multiplier cette quantité ^Ardidl', et l'intégrer ensuite dans ces limites. En nommant X cette quantité, la probabilité dont il s'agit sera donc ff X dl dl' . Mais, pour avoir la probabilité que les erreurs u et m' des corrections des éléments seront comprises dans des limites données, il faut substituer dans cette intégrale, au lieu de / et de /', leurs valeurs en u etu'. Or, si l'on différentie les expressions de /et de /', en supposant /' constant, on a

rf/=6/aSm(')/?('>+ c?a'S7n")^(", • o -.= du Sn^'V" -i- du' Sn('>^(", ce qui donne

Si l'on dilTérentie ensuite l'expression de /', en supposant u constant,

on a

dl'=du'Sn^'^q('^;

on aura donc

dldl'— (Sm^'>(''.Sw(')<7(''' — S/i('>(').Sm(')g('') du du' .

En faisant ensuite

F^-zS«('''2(Sm'')/>(');i2 — :iSm('vi(''.S/n(')p(').S/i(')/>(') -+- Sm(')2. (S«(');>('')2,

(i:=Sn(''2.Sm(''>/>f''.Sm(')(3f('' + Smf'')2.S«(''^('').S/i<''^(') — Sm(')n'''.Sn(''/?f''.Sm(')ç('')-hSm('')/>(').Snf')g('>,

H = S/i-''-\(Sm(')9('')2 — 2S/n<''/i"''.S/n(''(7(').Sn:')ç('' + SAn(')2.(Sn<''<7''))2,