LIVRE IL

La règle des milieux arithmétiques donne

l'équation précédente devient ainsi

Cette équation devant avoir lieu quels que soient - et g, il est nécessaire que '\>'{t) soit indépendant de t, ce qui donne

/c étant une constante. En intégrant, on a

^[t) = /ft~L, L étant une constante arbitraire; partant,

Telle est donc la fonction qui peut seule donner généralement la règle des milieux arithmétiques. La constante L doit être déterminée de manière que l'intégrale fdxc^~''^\ prise depuis x = — oo jusqu'à ^ = ao , soit égale à l'unité; car il est certain que l'erreur x d'une observation doit tomber dans ces limites; on a donc

par conséquent la probabilité de l'erreur .r est i /- c~^-^\

A la vérité, cette expression donne l'infini pour la limite des erreurs,, ce qui n'est pas admissible; mais, vu la rapidité avec laquelle ce genre d'exponentielles diminue à mesure que x augmente, on peut prendre k assez grand pour qu'au delà de la limite admissible des erreurs leurs probabilités soient insensibles et puissent être supposées nulles. .

34i THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

La loi précédente des erreurs donne, pour l'expression générale (i)

do y,

-KSlt-

en déterminant H de manière que l'intégrale entière Jydx soit l'unité,

et faisant

So(')

L'ordonnée qui divise l'aire de la courbe en deux parties égales est celle qui répond a u = o et par conséquent à

c'est donc la valeur de a; qu'il faut choisir pour résultat moyen des observations; or cette valeur est celle que donne la règle des milieux arithmétiques; la loi précédente des erreurs de chaque observation donne donc constamment les mêmes résultats que cette règle, et l'on a vu qu'elle est la seule loi qui jouisse de cette propriété.

En adoptant cette loi, la probabilité de l'erreur e^'^ de l'observation (/+ i^^^-^est

or on a vu dans le n° 20 que, z étant la correction d'un élément, cette observation fournit l'équation de condition

La probabilité de la valeur de o''^s — a^'^ est donc

« ^,-A(pW3-a('))«.

la probabilité de l'existence simultanée des s valeurs pz — a, p^'^z — x^'\ ..., p^'-'^z — a.^'-*^ sera donc