LIVRE II. 3W

Cette probabilité varie avec s; on aura donc la probabilité d'une valeur quelconque de z en multipliant cette quantité par dz et divisant le produit par l'intégrale de ce produit, prise depuis z = —cc jusqu'à :■ = x> . Soit

cette probabilité devient

, //fSD(02

en sorte que, si l'on décrit une courbe dont le coefficient de du soit l'ordonnée et dont u soit l'abscisse, cette courbe, étendue depuis M — — 00 jusqu'à u = co , peut être considérée comme la courbe des probabilités des erreurs u, dont le résultat

est susceptible. L'ordonnée qui divise l'aire de la courbe en deux parties égales est celle qui répond à u = o, et par conséquent à z égal à

g (,)a ; ce résultat est donc celui qu'il faut choisir; or il est le même

que celui que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations; la loi précédente des erreurs de chaque observation conduit donc aux mêmes résultats que cette méthode.

La méthode des moindres carrés des erreurs devient nécessaire lorsqu'il s'agit de prendre un milieu entre plusieurs résultats donnés, chacun, par l'ensemble d'un grand nombre d'observations de divers genres. Supposons qu'un même élément soit donné : i° par le résultat moyen de^ observations d'un premier genre et qu'il soit, par ces observations, égal à A; 2° par le résultat moyen de ^'observations d'un deuxième genre et qu'il soit égal à A -f- ^; 3° par le résultat moyen de s" observations d'un troisième genre et qu'il soit égal à A-h q', et ainsi du reste. Si l'on représente par A-i-x l'élément vrai, l'erreur du résul-

OEuvresde L. — VU. 44.

3k» THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

tat des observations s sera —x; en supposant donc ê égal à

/k sj^p^'^^

si l'on t'ait usage de la méthode des moindres carrés des erreurs pour déterminer le résultat moyen, ou à

si l'on fait usage de la méthode ordinaire; la probabilité de cette erreur sera, par le n'' 20,

L'erreur du résultat des observations s' sera q — r, et, en désignant par ê' pour ces observations ce que nous avons nommé ê pour les observations s, la probabilité de cette erreur sera

Pareillement, l'erreur du résultat des observations s" sera ^' — x, et en nommant pour elles ê" ce que nous avons nommé G pour les observations s, la probabilité de cette erreur sera

v/tt

et ainsi de suite. Le produit de toutes ces probabilités sera la probabilité que —x,q'-x,q' — x,... seront les erreurs des résultats moyens des observations s, s', s", .... En le multipliant par dx et prenant l'intégrale depuis X — - — 00 jusqu'à a? = co , on aura la probabilité que les résultats moyens des observations s', s", . . . surpasseront respectivement de q, q', ... le résultat moyen des observations s.

Si l'on prend l'intégrale dans des limites déterminées, on aura la probabilité que, la condition précédente étant remplie, l'erreur du premier résultat sera comprise dans ces limites; en divisant cette pro-