LIVRE II. 3W

habilité par celle de la condition elle-même, on aura la probabilité que l'erreur du premier résultat sera comprise dans des limites données, lorsqu'on est certain que la condition a cfFectivement lieu; cette probabilité est donc

fdx c-^*-''-^''('"-'7''~°"'''"~9'''~- ■ •

l'intégrale du numérateur étant prise dans les limites données, et celle du dénominateur étant prise depuis x = — ce jusqu'à x = ^ . On a

g2^2 + g'2 (^ -qY + ê"2(:r - q'Y + . . . Soit

la probabilité précédente deviendra

l'intégrale du numérateur étant prise dans des limites données, et celle du dénominateur étant prise depuis t ^— co jusqu'à / = oc . Cette

dernière intégrale est

En faisant donc

la probabilité précédente devient

La valeur de t' la plus probable est celle qui répond à t' nul, d'où il suit que la valeur de x la plus probable est celle qui répond à ^ = o; ainsi la correction du premier résultat, que l'ensemble de toutes les obser-

valions s, s', s", . . . donne avec le plus de probabilité, est

g2 4^~2-:jrg"2 + . . . ■

Cette correction, ajoutée au résultat A, donne, pour le résultat qu'il

faut choisir,

Aê2 4- (A + «7)g^2 + (A 4- g']B"^+.. .

La correction précédente est celle qui rend un minimum la fonction

Or la plus grande ordonnée de la courbe des probabilités du premier

résultat est, comme on vient de le voir, -^; celle de la courbe des pro-

V'tt ê'

habilités du second résultat est —, et ainsi de suite; le milieu qu'il

faut choisir entre les divers résultats est donc celui qui rend un minimum la somme des carrés de l'erreur de chaque résultat multipliée par la plus grande ordonnée de sa courbe de probabilité. Ainsi la loi du minimum des carrés des erreurs devient nécessaire, lorsque l'on doit prendre un milieu entre des résultats donnés chacun par un grand nombre d'observations.

24. On a vu précédemment que, de toutes les manières de combiner les équations de condition pour en former des équations finales linéaires, nécessaires à la détermination des éléments, la plus avantageuse est celle qui résulte de la méthode des moindres carrés des erreurs des observations, du moins lorsque les observations sont en grand nombre. Si, au lieu de considérer le minimum des carrés des erreurs, on considérait le minimum d'autres puissances des erreurs, ou même de toute autre fonction des erreurs, les équations finales cesseraient d'être linéaires, et leur résolution deviendrait impraticable, si les observations étaient en grand nombre. Cependant il est un cas qui mérite une attention particulière, en ce qu'il donne le système dans