LIVRE II

On doit, dans cette fonction, supposer ^ = <i!, ce qui donne, en substituant pour i sa valeur nà'{3 — -la).

3 — la

^na'^{i — a]

^ ^na[\ — a]

Ensuite, x étant égal à a'-\- 0, il est égal à a -h/a + 0; en négligeant donc les quantités de l'ordre a, on aura

Maintenant le nombre des parties de deux coups étant

3 — 7.x I -f- 2 JC

ce nombre sera

i — naY-^

Faisons

L(3-2«)2 [i + 'iaY-y et désignons par q" la quantité

^^«^ L(3-2a)2 (i + 2a)^J qui, après toutes les réductions, se réduit à

9(3 — 2rt]fl-4-2«)

in[i — 2a)=^(3 — la-i- 20^)=^' la fonction (s') deviendra

dtdldl'c'ii'-i'i"-q"{t-i l'y-

Kn l'intégrant depuis / = — co jusqu'à /=ao, et depuis /' — —oc jusqu'à /'= 00 , on aura la probabilité que le nombre des parties de

deux coups sera égal à

6 — la i -\- ia

or on a

qq» r q" -12

Cette dernière intégrale, prise depuis / = — oo jusqu'à /= oo , est, par ce qui précède,

qq«

En la multipliant par cW et la mettant sous cette forme

Vt: dl'

c qq'+qq"+q'q" q + q" \ q(/~^q(/"+q'q"J ^

\Jq + q"

et l'intégrant depuis /'= — oo jusqu'à /— od , on aura

t: - Slî'Jl

c qq'+qq"-^q'q".

^/qq'^qq" + q'q'

La fonction (t") intégrée par rapport à / et /', dans les limites infinies positives et négatives de ces variables, devient ainsi

/'■kV gq'-^

qq'q" '^ -^^'"^"'^

qq"-hq'q

ri,dtc qq'-^qq"+q'q''.

Ainsi la probabilité que le nombre de parties de deux coups sera compris dans les limites

6 — ia i4-2« ^ ' ^

est égale au double de l'intégrale de la différentielle précédente, prise depuis t nul. On doit observer que q, q', q" sont de l'ordre -, en sorte

que la quantité —j—^J- — m est du même ordre. Représentons-la par qq -r- qq ^ q q '■ *