p -hq

En faisant donc

r = xP[i — x]v,

la probabilité que la valeur de x est comprise dans des limites données sera, par le n° 26, égale à

l'intégrale du dénominateur étant prise depuis x = o jusqu'à x = i, et celle du numérateur étant prise 'dans les limites données. Si l'on prend zéro et ~ pour ces limites, on aura la probabilité que la valeur de x ne

surpasse pas {. La valeur qui correspond au maximum de y est ~^~ et, vu la grandeur des nombres p et q, l'excès de — ^ sur ^ est trop

considérable pour employer ici la formule (c) du n° 27 du Livre P^ dans l'approximation de l'intégrale fyclx, prise depuis ^ = o jusqu'à

Œuvres de L. — VII. lj,g

'V—{; il faut donc, dans ce cas, faire usage de la formule (x\) du n° 22 du même Livre. Ici l'on a

rdx û:iï — x]

dx p~[p -^ q)^''

la formule citée (A) donne ainsi, pour l'intégrale /j «/a? prise depuis -r = o jusqu'à ^ = J,

Quant à l'intégrale Jydx, prise depuis ^ = o jusqu'à ^ = i, on a, par le n« 26,

Y étant ce que devient y à son maximum, ou lorsqu'on y substitue

H^n P^"^' ocweèi ici égal à J^'l^ , et U, -r-^ , • • • sont ce que P + q ^ ^logY— logj dx^ T

deviennent r, ^— , •••» lorsqu'on y fait, après les différentiations.

jusqu à X =i\.

^ = ^^-- On trouve ainsi, pour l'intégrale fydx prise depuis x nul

(^ + ^)''"'^-2- L ^-^pqip + q) J

la probabilité que la valeur de x ne surpasse pas ^ est donc égale à

'.p-^qr'^'

[j P-^q {p^q)^ — i3pq

R [p-qY- ' ^-^pqip + q)

Pour appliquer de grands nombres à cette formule, il faudrait avoir les logarithmes de p, q et p — q, avec douze décimales au moins : on peut y suppléer de cette manière. On a

'"S ~„^^. \=~p\og(i-h f~-~^ ^ log ,

p-hq/ -\ p + q