h- z) 1 .2.3. ..(//— 9'— z)j'xidx{\ — x]P-i

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis .r — o jusqu'à £r = i. On a, par le n° 28, à très peu près,

Jxi-^'i'^-dx[\ — x)p-^p'-(i-i'-'

Vp-P'-1-^){^-j^-y^-~i)\

fx^dx[\ — x)P-f z= s/'i.Tï

Ensuite, par le n" 33 du Livre I^'", on a

I a'-hz -i- -

i.'î.3...{q'-i-z) = q' Mn-^\ ^.-/-^^.^^^

OEuvres de L. — VU. 50

enfin on a r/'= ^. Gela posé, on trouve, après toutes les réductions,

gpip-q][p-^P']'iT:

Si l'on prend le logarithme hyperbolique du second membre de cette équation, que l'on réduise ce logarithme en série ordonnée par rapport aux puissances de z, et que l'on néglige les puissances supérieures au carré, on aura, en repassant du logarithme à la fonction,

V fIP[p-q)[p-^P')'ir.l ■^qp'[p-q)[^p-^p')\

[), q^p étant supposés de très grands nombres de l'ordre -^ le coefficient de z est très petit de l'ordre a; celui de — z"^ est très petit et du même ordre. Mais, si l'on suppose - de l'ordre ya, on pourra négliger,

dans l'expression précédente, le terme dépendant de la première puissance de :;, comme très petit de l'ordre y/a. De plus, ce terme se détruit lui-même, lorsque l'on a égard à la fois aux valeurs positives et négatives de s. En le négligeant donc, on aura

•2 1/ --/, fr ,1 fdz c i</p'<p-iHP-i-p')

V <îp[p-q]{p + p)^'r.^

pour l'expression de la probabilité que, sur /?' individus de l'âge A, le nombre de ceux qui parviendront à l'âge A -h a sera compris dans les limites q'± z, l'intégrale étant prise depuis :; nul.

Supposons maintenant que l'on ait trouvé par l'observation que, sur p individus de l'âge A, q vivaient encore à l'âge A -h a, et r à l'âge A + « -h a'; on demande la probabilité que, sur/?' individus du même

âge A, -^ -h z vivront à l'âge A + «, et ~ -+- z' vivront à l'âge