LIVRE II. M

qiient, est égale à

l'intégrale étant prise depuis w — — 77 jusqu'à ci = -.

Si l'on prend dans cette intégrale le logarithme hyperbolique de la quantité sous le signe /, élevée à la puissance /i, on aura, en développant les exponentielles en séries, ce logarithme égal à

{1) «fxcTv/--i 4-nIog /9(^) -^V^-»/^9(7))- Y-^^'^f'V^) ■^•••J'

le signe / se rapportant ici à toutes les valeurs de oc, depuis x = o jusqu'à œ = a. Si l'on fait - = x', et si l'on observe que, la variation de X étant l'unité, on a a dx'= 1 , on aura

les intégrales relatives à x' étant prises depuis x'= o jusqu'à x'=.- i. Nommons k, k' , k!' , . . . ces intégrales successives; la probabilité que la durée de la vie d'un enfant sera comprise dans les limites zéro et a est

/çf- j oiiafclx'<^{x'); or cette probabilité est la certitude elle-même;

on a donc ak = i . Cela posé, la fonction (2) devient

niJ.w \f— 1 -+- n log ( I — -T- acT v— 1 — -^7 h- . . . )

ou

nu nk'\ , kk''-f('^ , „

(mus>rtidt L.— VU. , 53

4lg THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Si l'on fait

ah' a^h' ^=-F = ^=--'^''

la première puissance de cj disparaît, et de plus, n étant supposé un très grand nombre, on peut s'arrêter à la seconde puissance de ct; la fonction (i) devient ainsi, en repassant des logarithmes aux nombres,

Si l'on fait

■ aTJ3C 2*

h^ axssjn &l\J~i

cette intégrale devient, en la prenant depuis t=— ^ jusqu'à / = ce ,

En la multipliant par dl, et faisant l=ar\/n, on aura

pour la probabilité que la somme des âges auxquels les n enfants parviendront sera comprise dans les limites na- k' ± ar \j7i .

La quantité a^y^' ou /^çpf^j est la somme des produits de chaque

âge par la probabilité d'y parvenir; elle est donc la vraie durée de la vie moyenne; ainsi la probabilité que la somme des âges auxquels les n enfants cesseront de vivre, divisée par leur nombre, est comprise dans ces limites

Vraie durée de la vie moyenne, plus ou moins -->

a pour expression

-4 f^clrc-^o^'\

V/tt

La valeur moyenne de r, en plus ou en moins, est, par le n** 20,

±-Lf§rdrc~^'r--,

v/tî

l'intégrale étant prise depuis /-= o jusqu'à r infini. En la multipliant par —5 on aura l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins, lors-

qu'on prend pour durée moyenne de la vie la somme des âges qu'ont vécu les n enfants considérés ci-dessus, divisée par n, quotient que nous désignerons par G; cette erreur est donc

On a, à très peu près,

et, comme «^ — i, on aura

Si l'on nomme ensuite H la somme des carrés des âges qu'ont vécu les n enfants, divisée par n, on trouvera, par l'analyse du n" 19,

Aces valeurs donnent

l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur la durée de la vie devient ainsi

Il est clair que ces résultats ont également lieu relativement à la durée moyenne de ce qui reste à vivre, lorsque, au lieu de partir de l'époque de la naissance, on part d'une époque quelconque de la vie.

On peut facilement déterminer, au moyen des Tables de mortalité, formées d'année en année, la durée moyenne de ce qui reste à vivre à

une personne dont Vkge est d'un nombre entier A d'années. Pour cela, on ajoutera tous les nombres de la Table qui suivent celui qui correspond à l'âge A; on divisera la somme par ce dernier nombre, et l'on ajoutera ^ au quotient. En effet, si l'on désigne par (i), (2), (3), ... les nombres de la Table, correspondants à l'année A et aux années suivantes, le nombre des individus qui meurent dans la première année, à partir de l'année A, sera (i) — (2); mais, dans ce court intervalle, la mortalité peut être supposée constante; ^[(i) — (2)] est donc la somme des durées de leur vie, à partir de l'âge A. Pareillement IK^) ~ (^)]' f [(^) ~~ (4)]' • • • ^^^^^ ^^^ sommes des durées de la vie, à partir du même âge, de ceux qui meurent dans les deuxième, troisième, etc., années comptées depuis l'année A. La réunion de toutes

ces sommes est — + (2) + (3) + (4) +• • •; et, en la divisant par (i), on aura la durée moyenne de ce qui reste à vivre à la personne de l'âge A. On formera ainsi une Table des durées moyennes de ce qui reste à vivre aux diff'érents âges. On pourra même conclure ces durées les unes des autres, en observant que, si F désigne cette durée pour l'âge A, et F' la durée correspondante à l'âge A -f- 1, on a

36. Déterminons maintenant la durée moyenne de la vie qui aurait lieu, si l'une des causes de mortalité venait à s'éteindre. Soit U le nombre des enfants qui, sur le nombre n de naissances, vivraient encore à l'âge X dans cette hypotbèse, u étant celui des enfants vivants à cet âge sur le même nombre de naissances, dans le cas où cette cause de mortalité subsiste. Nommons z\x la probabilité qu'un individu de l'âge X périra de cette maladie dans l'intervalle de temps très court A.r ; uzâ^cc sera, à très peu près, par le n° 25, le nombre des individus u qui périront de cette maladie dans l'intervalle de temps àx, si ce nombre est considérable. Pareillement, si l'on désigne par oAx la probabilité qu'un individu de l'âge x périra par les autres causes de mortalité dans l'intervalle Ax, ur^âix sera le nombre des individus qui périront