LIVRE II

par ces causes, dans l'intervalle de temps Ar; ce sera donc la valeur de — Am; j'affecte \ii du signe —, parce que a diminue à mesure que ce

augmente; on a donc

— \u= a Aa:(9 + z).

On aura pareillement

-AU = U(pA^.

En éliminant 9 de ces deux équations, on aura

AU ^u U u

A^ étant une quantité très petite, on peut transformer la caractéristique A dans la caractéristique différentielle d, et alors l'équation précédente devient

du du ,

-rr = [- z dx;

d'où l'on tire, en intégrant et observant qu'à l'âge zéro U = m = w,

(3) \]=zucJ'^'^-^',

l'intégrale étant prise depuis x nul. On peut obtenir cette intégrale, au moyen des registres de mortalité, dans lesquels on tient compte de l'âge des individus morts et des causes de leur mort. En effet, uzlûc étant, par ce qui précède, le nombre de ceux qui, parvenus à l'âge jc, ont péri dans l'intervalle de temps Ax, par la maladie dont il s'agit, on aura à très peu près l'intégrale fzdx, en supposant Ax égal à une année, et en prenant depuis la naissance des n enfants que l'on a considérés, jusqu'à l'année x, la somme des fractions qui ont pour numérateur le nombre des individus que la maladie a fait périr cbaque année, et pour dénominateur, le nombre des n enfants qui vivent encore au milieu de la même année. Ainsi l'on pourra transformer, au moyen de l'équation (3), une Table de mortalité ordinaire, dans celle qui aurait lieu si la maladie dont il s'agit n'existait pas.

La petite vérole a cela de particulier, savoir, que le même individu n'en est jamais deux fois atteint, ou du moins ce cas est si rare, que,

s'il existe, on peut en faire abstraction. Concevons que, sur un très grand nombre n d'enfants, u parviennent à l'âge x, et que, dans le nombre u, y n'aient point eu la petite vérole. Concevons encore que sur ce nombre y, iydx prennent cette maladie dans l'instant d.x, et que, sur ce nombre, irydx périssent de cette maladie. En désignant, comme ci-dessus, par o la probabilité de périr à l'âge x par d'autres causes, on aura évidemment

du=— ucf dx — îry dx.

On aura ensuite

dy = — ycf dx — iy dx.

En effet, y diminue par le nombre de ceux qui, dans l'instant dx, prennent la petite vérole, et ce nombre est, par la supposition, iydx; y diminue encore par le nombre des individus compris dans y, qui périssent par d'autres causes, et ce nombre esty(^dx.

Maintenant, si de la première des deux équations précédentes, multipliée par j, on retranche la seconde multipliée par w, et si l'on divise la différence par y^, on aura

d ~ =i— dx — ir dx,

ce qui donne, en intégrant depuis x nul, et observant qu'à cette origine u=^y =^n,

(4) - = (i — firdx c-^^dJ^]c^idx.^

cette équation fera connaître le nombre d'individus de l'âge x qui n'ont point encore eu la petite vérole. On a ensuite

, ir Y dx

zax = — •- — »

uzdx étant, comme ci-dessus, le nombre de ceux qui périssent dans le temps dx, de la maladie que l'on considère. En substituant, au lieu