LIVRE II

De là résultent plusieurs conséquences importantes. L'une d'elles est que le jeu mathématiquement le plus égal est toujours désavantageux. En effet, si l'on désigne par a la fortune physique du joueur avant de commencer le jeu; par p sa probabilité de gagner, et par [x sa mise,

celle de son adversaire doit être, pour l'égalité du jeu, ^^J—^\ ainsi le joueur gagnant la partie, sa fortune physique devient a + ^^ [v.,

et la probabilité de cela est/?. S'il perd la partie, sa fortune physique devient a ~ [j., et la probabilité de cela est i — /?; en nommant donc X sa fortune physique, en vertu de son expectative, on aura, par ce qui précède,

X = fa -+- ' ~-^ f^)''(« - lA'-P'^

or cette quantité est plus petite que «, c'est-à-dire que l'on a

p aj \ aj OU. en prenant les logarithmes hyperboliques.

Le premier membre de cette équation peut être mis sous la forme

quantité qui est évidemment négative.

Il résulte encore de l'analyse précédente qu'il vaut mieux exposer sa fortune par parties à des dangers indépendants les uns des autres, que de l'exposer tout entière au même danger. Pour le faire voir, supposons qu'un négociant, ayant à faire venir par mer une somme e, l'expose sur un seul vaisseau, et que l'observation ait fait connaître la probabilité p de l'arrivée d'un vaisseau du même genre dans le port ; l'avantage mathématique du négociant, résultant de son expectative,

sera/?£. Mais, si l'on représente par l'unité sa fortune physique, indépendamment de son expectative, sa fortune morale sera, par ce qui précède,

/r/7 log(i + s) + logA,

et son avantage moral sera, en vertu de son expectative, quantité plus petite que pi\ car on a

puisque log(i -+- s)^ ou/? log(i+ s) est moindre que log(i-+-/?£), ce qui est évident, lorsqu'on met ces deux logarithmes sous les formes

J i-he J i-h pe

Supposons maintenant que le négociant expose la somme £, par parties égales, sur r vaisseaux. Sa fortune physique deviendra i -t- s, si tous les vaisseaux arrivent, et la probabilité de cet événement est p''. Si r — I vaisseaux arrivent, la fortune physique du négociant devient

n -^ et la probabilité de cet événement est rp''-^{\—p).

Si /-— 2 vaisseaux arrivent, la fortune physique du négociant devient

iH 7-^£, et la probabilité de cet événement est ^^''^—-^ p''-^(^i — p^ ^

et ainsi de suite; la fortune morale du négociant est donc, par ce qui précède,

log/j,

( /jMog(n- £) -^ rpr-^{i—p) logfi+ '-—-^ c) expression que l'on peut mettre sous cette forme

(„i /,./, r,u [P— + ^J-=-'}P:riil:zll ^ (^-■H'--^)p--(-rj'i! + -1 ,

Si l'on retranche de cette expression celle de la fortune morale du né-

log//.