DE LA PROBABILITÉ DES TÉMOIGNAGES

44. Je vais d'abord considérer un seul témoin. La probabilité de son témoignage se compose de sa véracité, de la possibilité de son erreur et de la possibilité du fait en lui-même. Pour fixer les idées, concevons que l'on ait extrait un numéro d'une urne qui en renferme le nombre n, et qu'un témoin du tirage annonce que le n** i est sorti. L'événement observé est ici le témoin annonçant la sortie du n° /. Soit p la véracité du témoin, ou la probabilité qu'il ne chercbe point à tromper; soit encore rla probabilité qu'il ne se trompe point. Cela posé :

On peut former les quatre hypotbèses suivantes. Ou le témoin ne trompe point et ne se trompe point; ou il ne trompe point et se trompe; ou il trompe et ne se trompe point; enfin, ou il trompe et se trompe à la fois. Voyons quelle est, a priori, dans cbacune de ces hypothèses, la probabilité que le témoin annoncera la sortie du n'* i.

Si le témoin ne trompe point et ne se trompe point, le n** i sera sorti;

mais la probabilité de cette sortie- est a priori -; en la multipliant par la probabilité/?/- de l'hypothèse, on aura ^ pour la probabilité entière

de l'événement observé dans cette première hypothèse.

Si le témoin ne trompe point et se trompe, le n" i ne doit point être

sorti, pour qu'il annonce sa sortie; la probabilité de cela est "~'.

Mais l'erreur du témoin doit porter sur l'un des numéros non sortis. Supposons qu'elle puisse également porter sur tous : la probabilité

(ju'elle portera sur le n*' i sera ; la probabilité que le témoin ne trompant point et se trompant annoncera le n^ / est donc

n II — I

ou -• En la multipliant par la probabilité p(i — r) de l'hypothèse ellemême, on aura --^ — — pour la probabilité de l'événement observé

dans cette seconde hypothèse.

Si le témoin trompe et ne se trompe point, le n'^/ ne sera point sorti,

et la probabilité de cela est \ mais le témoin doit choisir, parmi

les /z — I numéros non sortis, le \\° i. Si l'on suppose que son choix

puisse également porter sur chacun d'eux, sera la probabilité

(lue son choix se fixera sur le n" i-, ou - est donc la proba-

' n II — in ^

bilité que le témoin annoncera le n"/. En la multipliant par la probabilité [i — p)r de l'hypothèse, on aura ^ pour la probabilité

entière de l'événement observé dans cette troisième hypothèse.

Enfin, si le témoin trompe et se trompe, la probabilité qu'il ne croira

pas le n° i sorti si^ra » et la probabilité qu'il le choisira parmi les

n — I numéros qu il ne croira pas sortis sera -, ou -

^ 1 n — i n II — i II

sera donc la probabilité qu'il annoncera la sortie du n"* i. En la multipliant par la probabilité (i—/?)(i —r) de l'hypothèse, on aura —

pour la probabilité de l'événement observé dans cette quatrième hypothèse.

Cette hypothèse renferme un cas dans lequel le n*' « est sorti, savoir le cas dans lequel, le n" i étant sorti, le témoin ne le croit pas sorti, et le choisit parmi les /z — i numéros qu'il ne croit pas sortis. La probabilité de cela est le produit de - par -^^- En multipliant ce produit

par la probabilité (i — /))(i — r) de l'hypothèse, on aura ^i^n) — pour la probabilité du cas dont il s'agit.