LIVRE

On peut arriver aux mêmes résultats de cette manière. Soient a, b, c,d, i, ... les n numéros. Puisque le témoin se trompe, il ne doit point croire sorti le numéro sorti, et puisqu'il trompe, il ne doit point annoncer comme sorti le numéro qu'il croit sorti. Mettons donc, à la première place le numéro sorti, à la deuxième le numéro que le témoin croit sorti, et à la troisième le numéro qu'il annonce. Parmi toutes les combinaisons possibles des numéros trois à trois, sans exclure celles où ils sont répétés, il n'y a de compatibles avec l'hypotbèse présente que celles où le numéro qui occupe la deuxième place n'occupe ni la

première, ni la troisième; telles sont les combinaisons aba, abc,

Or il est facile de voir que le nombre des combinaisons qui satisfont aux deux conditions précédentes est n{n — i)^; car la combinaison ab peut se combiner avec les /z — i numéros autres que b, et le nombre des combinaisons ab, ba, ac est n{n — i). Maintenant les combinaisons dans lesquelles le n"* « est annoncé sans être sorti sont de la forme abi, bai, aci, ..., et le nombre de ces combinaisons est [n — \)[n — 2);

ainsi la probabilité qu'une de ces combinaisons aura lieu est — -11-i-.

Les combinaisons dans lesquelles le n° i étant sorti, il est annoncé, sont de la forme iai, ibi, ..., et le nombre de ces combinaisons est visiblement n—i; la probabilité qu'une de ces combinaisons aura lieu est donc ~r~zi\]' ^' ^^"^ multiplier toutes ces combinaisons par la

probabilité (i — p) (i — r) de l'iiypothèse, et alors on aura les résultats précédents.

Maintenant, pour avoir la probabilité de la sortie du n° i, on doit faire une somme de toutes les probabilités précédentes, relatives à cette sortie, et la diviser par la somme de toutes ces probabilités, ce qui donne, pour cette probabilité,

Pl^ il- pU'-jI

PU + ^('-^) + LL-iPi^' ^ (i-/?)(i-r) ^ n - I

Si rest égal à l'unité, ou si le témoin ne se trompe point, la proba-

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bilité de la sortie du n"* i sera/^, c'est-à-dire la probabilité de la véracité du témoin.

Si n est un très grand nombre, cette probabilité sera à très peu près pron la probabilité de la véracité du témoin, multipliée par la probabilité qu'il ne se trompe point.

Nous avons supposé que l'erreur du témoin, lorsqu'il se trompe, peut également tomber sur tous les numéros non sortis; mais cette supposition cesse d'avoir lieu, si quelques-uns d'eux ont plus de ressemblance que les autres avec le numéro sorti, parce que la méprise à leur égard est plus facile. Nous avons encore supposé que le témoin, lorsqu'il trompe, n'a pas de motif pour choisir un numéro plutôt qu'un autre, ce qui peut ne pas avoir lieu. Mais il serait très difficile de faire entrer dans une formule toutes ces considérations particulières.

45. Supposons maintenant que l'urne contienne n — i boules noires et une boule blanche, et qu'en ayant extrait une boule, un témoin du tirage annonce la sortie d'une boule blanche. Déterminons la probabilité de cette sortie. Nous formerons les mêmes hypothèses que nous venons de faire. Dans la première, la probabilité de la sortie de la

boule blanche est, comme ci-dessus, f--- Dans la deuxième hypothèse, le témoin se trompant sans tromper, une boule noire doit être sortie,

et la probabilité de cela est ? et comme le témoin, supposé véri-

dique, doit énoncer la sortie d'une boule blanche, par cela seul qu'il se méprend, la probabilité de cette annonce sera donc ■> probabilité qu'il faut multiplier par la probabilité p[i — r) de l'hypothèse, ce qui donne ^— — ^^ pour la probabilité de l'événement observé

dans cette hypothèse. Dans la troisième hypothèse, le témoin étant supposé tromper et ne point se tromper, une boule noire doit être

sortie, et la probabilité de cela est • En la multipliant par la pro-