LIVRE II

l)al)ilité (i — p)r de cette hypotliëse, on aura - — ^ pour la

probabilité de l'événement observé, dans cette bypotbèse. Enfin, dans la quatrième hypothèse, le témoin, trompant et se trompant, ne peut annoncer la sortie de la boule blanche qu'autant qu'elle sera sortie. La

probabilité de cette sortie est -• En la multipliant par la probabilité (i — /?) (i - /•) de l'hypothèse, on aura \^~Pj-j^^l pour la probabilité de l'événement observé, dans cette hypothèse.

Présentement, si l'on réunit parmi les probabilités précédentes celles dans lesquelles la boule blanche est sortie, on aura la probabilité de cette sortie, en divisant leur somme par la somme de toutes les probabilités, ce qui donne

pr+ (i-/?)(i-r) ,

pr+{x — p){i-r)+[p{A-r)+[i-p)r'][n-i)

pour la probabilité de la sortie de la boule blanche; par conséquent [p[i - r) -f-(i-/?)r](n-i)

pr+[i-p]\\- r]-^{p[i-r)-\-[\-p)r^[n-i)

est la probabilité que le fait attesté par le témoin du tirage n'a pas eu lieu.

On peut observer ici que, si l'on nomme q la probabilité que le témoin énonce la vérité, on aura

q = pr+[i-p)[i-r)',

car il est visible qu'il dit vrai, dans le cas dont il s'agit, soit qu'il ne trompe point et ne se trompe point, soit qu'il trompe et se trompe. Cette expression de q donne

En effet, la probabilité i — q qu'il n'énonce pas la vérité est la probabilité qu'il ne trompe point et se trompe, plus la probabilité qu'il

trompe et ne se trompe point. L'expression précédente de la probabilité qno le fait attesté est faux devient ainsi

Si le nombre n — i des boules noires est très grand, cette probabilité devient à très peu près égale à l'unité ou à la certitude, pour peu que l'erreur ou le mensonge du témoin soit probable. Alors le fait qu'il atteste devient extraordinaire. Ainsi l'on voit comment les faits extraordinaires affaiblissent la croyance due aux témoins, le mensonge ou l'erreur devenant d'autant plus vraisemblable que le fait attesté est plus extraordinaire en lui-même.

46. Considérons présentement deux urnes A et B, dont la première contienne un grand nombre n de boules blancbes, et la seconde le même nombre de boules noires. On tire de l'une de ces urnes une boule que l'on remet dans l'autre urne; ensuite on tire une boule de cette dernière urne. Un témoin du premier tirage atteste qu'une boule blanche est sortie; un témoin du second tirage atteste pareillement qu'il a vu extraire une boule blanche. Chacun de ces témoignages, considéré isolément, n'offre rien d'invraisemblable. Mais la conséquence qui résulte de leur ensemble est que la même boule, sortie au premier tirage, a reparu au second, ce qui est un phénomène d'autant plus extraordinaire que n est un plus grand nombre. Voyons comment la valeur de ces témoignages en est affaiblie.

Nommons q la probabilité que le premier témoin énonce la vérité. On voit, par le numéro précédent, que dans le cas présent cette probabilité se compose de la probabilité que le témoin ne trompe point et ne se trompe point, ajoutée à la probabilité qu'il trompe et se trompe à la fois; car le témoin, dans ces deux cas, énonce la vérité. Soit g' la même probabilité relative au second témoin. On peut former ces quatre hypothèses : ou le premier et le second témoin disent la vérité; ou le premier dit la vérité, le second ne la disant pas; ou le second témoin