LIVRE II. Wl

(lit la vérité, le premier ne la disant point; ou enfin aucun des deux ne dit la vérité. Déterminons aprioii, dans chacune de ces hypothèses, la probabilité de l'événement observé.

Cet événement est l'annonce de la sortie d'une boule blanche ii chaque tirage. La probabilité qu'une boule blanche est sortie au premier tirage est î, puisque la boule extraite peut être également sortie de l'urne A ou de l'urne B. Dans le cas où elle a été extraite de l'urne A et mise dans l'urne B, /i + i boules sont contenues dans cette dernière

urne, et la probabilité d'en extraire la boule blanche est — ' — ; le pro-

duit de \ par — -- est donc la probabilité aprioriàe l'extraction d'une

boule blanche dans les deux tirages consécutifs. En la multipliant par la probabilité qq' que les deux témoins disent la vérité, on aura

pour la probabilité de l'événement observé, dans la première hypothèse.

Dans la seconde hypothèse, la boule a été extraite de l'urne A et mise dans l'urne B : la probabilité de cette extraction est ~. De plus, puisque le second témoin ne dit pas la vérité, une boule noire a été

extraite de l'urne B, et la probabilité de cette extraction est — ^- . En

multipliant donc ^ par ^~' et le produit par la probabilité ^(i — q')

que le premier témoin dit la vérité tandis que le second ne la dit pas, on aura

pour la probabilité de l'événement observé dans la deuxième hypoth(;se.

Dans la troisième hypothèse, une boule noire a été extraite de l'urne B et mise dans l'urne A : la probabilité de cette extraction est ^. De plus, une boule blanche a été ensuite extraite de l'urne A, et la

probabilité de celte extraction est ; en multipliant donc J par

—-5 et le produit par la probabilité (i — q)q' que le second témoin dit la vérité, tandis que le premier ne la dit pas, on aura

pour la probabilité relative à la troisième hypothèse.

Enfin, dans la quatrième hypothèse, une boule noire a d'abord été extraite de l'urne B, et la probabilité de cette extraction est^. Ensuite cette boule noire, mise dans l'urne A, en a été extraite au second

tirage, et la probabilité de cette extraction est — ^ — ; en multipliant

donc le produit de ces deux probabilités par la probabilité (i —^)([ —^') qu'aucun des témoins ne dit la vérité, on aura

pour la probabilité relative à la quatrième hypothèse.

Maintenant la probabilité du fait qui résulte de l'ensemble des deux témoignages, savoir, qu'une boule blanche extraite au premier tirage a reparu au second tirage, est visiblement égale à la probabilité relative à la première hypothèse divisée par la somme des probabilités relatives aux quatre hypothèses; cette probabilité est donc

qq'

qq' + [i-q)[i-q')+\q[i- q'] + ç'(i ^)]«

Le phénomène de la réapparition d'une boule blanche au second tirage devient d'autant plus extraordinaire que le nombre n des boules de chaque urne est plus considérable, et alors la probabilité précédente devient très petite. On voit donc que la probabilité du fait résultant de l'ensemble des témoignages est extrêmement affaiblie, lorsqu'il est extraordinaire.