LIVRE 11. i
47. Considérons les témoignages simultanés : supposons deux témoins d'accord sur un fait, et déterminons sa probabilité. Pour fixer les idées, supposons que le fait soit l'extraction du n*' i d'une urne qui en renferme le nombre n, en sorte que l'événement observé soit l'accord de deux témoins du tirage à énoncer la sortie du n° i. Nommons/? et/)' leurs véracités respectives, et supposons, pour simplifier, qu'ils ne se trompent point. Gela posé, on ne peut former que ces deux hypothèses : les témoins disent la vérité; les témoins trompent.
Dans la première hypothèse, le n° i est sorti, et la probabilité de cet
événement est - • En la multipliant par le produit des véracités p et /»'
des témoins, on aura ^^- pour la probabilité de l'événement observé,
dans cette hypothèse.
Dans la seconde, le n° i n'est pas sorti, et la probabilité de cet événement est '^"^ ; mais les deux témoins s'accordent à choisir le n" / n
parmi les n — i numéros non sortis. Or le nombre des combinaisons différentes qui peuvent résulter de leur choix est {n — I)^ et dans ce nombre ils doivent choisir celle où le n" i est combiné avec lui-même ;
la probabilité de ce choix est donc ;- ;^2- En la multipliant par la probabilité précédente "^-', et par les produits des probabilités i — /> et r — o' que les témoins trompent, on aura y—^^^__ ^ pour la pro-
habilité de l'événement observé, dans la seconde hypothèse.
Maintenant, on aura la probabilité de la sortie du n" i en divisant la probabilité relative à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses; on aura donc, pour cette probabilité,
PP
Si n — 1, alors la sortie du n*' i est aussi probable que sa non-sortie,
et la probabilité de sa sortie, résultante de l'accord des témoignages,
PPi
pp'+{i-p)[x-p')'
C'est généralement la probabilité d'un fait attesté par deux témoins, lorsque l'existence du fait est aussi probable que sa non-existence. Si les deux témoins sont également véridiques, ce qui àonnep'^p, cette probabilité devient
Pi
En général, si un nombre /-de témoins également véridiques affirme l'existence d'un fait de ce genre, sa probabilité résultante des témoignages sera
Mais cette formule n'est applicable qu'au cas où l'existence du fait et sa non-existence sont en elles-mêmes également probables.
Si le nombre n des numéros de l'urne est très grand, la formule (o) devient à très peu près l'unité, et par conséquent la sortie du n° i est extrêmement probable. Cela tient à ce qu'il est très peu vraisemblable que les témoins, voulant tromper, s'accordent à énoncer le même numéro, lorsque l'urne en contient un grand nombre. Le simple bon sens indique ce résultat du calcul; mais on voit en même temps que la probabilité de la sortie du n° / est beaucoup diminuée, si les deux témoins, cberchant à tromper, ont pu s'entendre.
Supposons maintenant que le premier témoin affirme la sortie du n° i, et que le second témoin affirme la sortie du iV'i'. On peut former alors les trois hypothèses suivantes : le premier fémoin dit la vérité et le second trompe; dans ce cas le n° i est sorti, et la probabilité de cet événement est '-- de plus, le second témoin, qui trompe, doit choisir parmi les autres numéros non sortis le n° i, et la probabilité de ce choix est ^^--' Le produit de ces deux probabilités par le produit des
