LIVRE II

probabilités p et i — yo', que le premier témoin ne trompe pas et que le second trompe, sera la probabilité de l'événement observé ou de renonciation de la sortie des n*'* i et i', dans cette hypotbèse, probabi-

lite qui est ainsi ^^ — - •

Dans la seconde bypotbèse, le premier témoin trompe et le second ne trompe pas. Alors le n^i'est sorti, et la probabilité de cet événement

est -• De plus, le premier témoin choisit le n** i sur les n — i numéros

non sortis, et la probabilité de ce choix est — ---. En multipliant le

produit de ces deux probabilités par le produit des probabilités i — /> et /?', que le premier témoin trompe et que le second ne trompe pas.

on aura

Enfin, dans la troisième hypothèse, les deux témoins trompent à la fois. Alors aucun des deux numéros i et i' n'est sorti. La probabilité de

cet événement est ~ • De plus, le premier témoin doit choisir le n** i, et le second doit choisir le n" i\ parmi les /i — f numéros non sortis, et la probabilité de cet événement composé est j— j^— w* En multipliant le produit de ces deux probabilités par le produit des probabilités I — /? et I — p' que le premier et le second témoin trompent, on

aura v^ ~^]lZ7£iilZlZJ pour la probabilité de l'événement observé,

dans cette hypothèse.

Maintenant on aura la probabilité de la sortie du n° i, en divisant la probabilité relative à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux trois hypothèses; la probabilité de cette sortie

est donc

, {^-P){'~P') i-pp ^/,

Si n — 2, c'est-à-dire si l'existence de chaque fait attesté par les deux témoins est « /?no// aussi probable que sa non-existence, alors la pro-

OKwres de L. — \\\. 59

habilité précédente devient {, lorsque p=p', ce qui est visible d'ailleurs, les deux témoignages se détruisant réciproquement. En général, si un fait de ce genre est attesté par r témoins et nié par r' témoins, tous également véridiques, il est facile de voir que sa prohabilité sera

ir-r' -u 1 1 n\r-r'

c'est-à-dire la même que si le fait était attesté par r— r' témoins.

48. Considérons présentement une chaîne traditionnelle de r témoins, et supposons que le fait transmis soit la sortie du n" i d'une urne qui renferme n numéros. Désignons par j^ sa probabilité. L'addition d'un nouveau témoin changera cette prohabilité en j^+n probabilité qui sera formée : i^du produit de j^ par la véracité du nouveau témoin, véracité que nous désignerons par/?^.^,; 2*^ du produit de la probabilité i — Pr+\ que ce nouveau témoin trompe, par la probabilité I — j^que le témoin précédent n'a pas dit la vérité, et par la prohabilité que le nouveau témoin choisira le numéro sorti, dans le

nombre des n — i numéros autres que celui qui lui a été indiqué par le témoin précédent; on aura donc

Xr+K = Pr+ ^ fr + ^^- ( I - /?/•+» )(!-//•),

équation dont l'intégrale est

C étant une constante arbitraire. Pour la déterminer, on observera que la probabilité du fait, d'après le premier témoignage, est, par ce qui

précède, égale à /?,; on a donc y^=z p^, ce qui donne G = ; par-

tant

I n — 1 {np\ — i) [np2 — i) . . . [npr— i)

^'^~ n ' n (n— ly